一標本の平均応答は10.2、平均の95%信頼区間は9.5–10.9でした。次の独立試料もほぼ確実にこの中でしょうか。この区間が母集団観測値の95%を覆うでしょうか。
どちらも違います。平均があり得る範囲、新しい一観測が出る範囲、母集団観測値の大部分を覆う範囲は別の問いです。
平均、新観測値、母集団の大部分の範囲は本当に同じ問いか。
前単元で平均信頼区間は固定母数μを狙うと学びました。今回は、その区間をあらゆる「範囲」に広げないための境界を作ります。
区間名より先に対象を言います
CI、PI、TIだけを暗記すると入れ替わりやすいため、問いを先に完成させます。
ある母集団パラメータの推定不確実性
推定不確実性+個別観測の自然変動
カバーゲージp + confidenceγの2つのレベル
統計が推定する範囲ではなく、事前決定
- 母集団の平均μはどこか → confidence interval, CI
- 同じ過程から得る次の独立観測一つはどこか → prediction interval, PI
- 母集団観測値の指定比率をどの範囲が覆うか → tolerance interval, TI
三つとも同じx̄とsから始められますが、含める不確実性の対象が違うため結果も違います。
同じconfidenceの代表的正規モデルでは平均CIがPIより狭く、高coverageのTIがさらに広く見えることが多いです。ただし幅の順だけを覚えません。confidence、coverage、未来観測数、片側・両側、モデルで幅は変わります。対象が定義を決め、幅はその結果です。
信頼区間は母数の不確実性を表します
平均の95% CIはμを狙い、同じ手順を反復して作る区間の約95%がμを含む長期包含率を持ちます。
平均推定の精度を表すため独立nが増えると狭くなる傾向がありますが、個別観測の自然な散らばりは消えません。平均CIが狭くても次の試料値は外に出られます。
CIは個別観測値の中央95%を覆う区間ではありません。狭い平均CIの外に元データ点が複数あっても、それだけで計算誤りではありません。
予測区間は次の一観測の変動も含みます
次の独立試料一つを予測するときは、母平均を標本から推定する不確実性と、平均が分かっていても個別値が自然に変わる変動を一緒に考えます。
そのため同標本のPIは平均CIより概して広くなります。未知平均の代表的正規モデルで両側PIは次の構造です。
x̄ ± t* × s × √(1 + 1/n)
平均CIのs/√nに対し、√(1+1/n)が個別観測の変動を残します。nが非常に大きく平均推定が精密でも個別散らばりは残るため、PIは0へ縮みません。
PIの「次」は同じ定義済み過程・条件から無作為に得る独立観測です。装置、原料、作業者、donor、培養条件、時間範囲が変われば元のPIを適用する根拠は弱くなります。
許容区間は母集団の比率を狙います
TIは平均一つや次の一観測ではなく、母集団観測値の指定比率を覆います。完全なTI文には二つの百分率が必要です。
例は「母集団の少なくとも95%を95% confidenceで含む両側許容区間」です。
- coverage
p=95%: 一母集団の観測値のうち含めたい比率 - confidence
γ=95%: 反復したTI手順がcoverage目標を達成する長期信頼水準
95%/95% TIと略せますが、どちらがconfidenceかcoverageかを明示します。「95%許容区間」だけでは不十分です。
正規母集団の両側TIはしばしばx̄ ± k·sと書きます。kは1.96や3に固定されず、n、confidence、coverage、片側・両側で変わります。
正規母集団の真のμとσが既知ならμ±1.96σは観測値の約95%を覆います。実標本ではμとσが未知でx̄とsも揺れます。TIはこの推定不確実性を含むためn依存の、通常より大きいkを使います。
正規モデルが不適切なら意図したcoverage保証も崩れ得ます。分布を仮定しない方法もありますが、同じconfidenceとcoverageにはより大標本または広い区間が必要なことがあります。
規格は統計区間ではありません
規格限界・受入基準は製品、工程、試験値が満たすべき外部基準です。設計要求、科学的必要、品質リスク、臨床的意味、規制・契約文脈から分析前に定めます。
一方CI・PI・TIは標本と統計モデルから計算され、標本ごとに動きます。
TIと規格線の比較は、モデル化した母集団が基準内にある可能性の調査に役立ちます。しかしTI = specification、TIが規格内 = 自動承認、変更後値が変更前TI内 = comparability確定ではありません。
Comparabilityは何を同じとみなすか、どの品質特性を見るか、許容差とリスクをどう定めるかという領域判断です。過去TI一つは全判断を代行しません。
データを見て全観測が入るよう規格を広げると独立判断基準が失われます。基準の根拠、決定時点、変更履歴を記録します。
同じ標本から三つの区間を比べます
Labはμ=10、σ=3の正規過程から独立標本を作ります。三区間は同じx̄とsから始まり、対象だけが異なります。
- n=20で平均CI、次の一観測PI、95% confidence/95% coverage TIを比べます。
New sampleで中心と三区間が一緒に動くか見ます。- n=5と40で推定不確実性の影響を比べます。
初めての場合：何を押すべきですか？
- 1.質問を最初に読むLabタイトルで今回比較する1つを確認してください。
- 2.条件を1つだけ変更する最初は、n、効果、散布などの入力の1つだけを変更します。
- 3. New sample 押す新しい合成データが作成されます。同じ条件も標本によって変わり得る。
- 4. 三つの区間の対象と幅 比較する変更の前後に何が動いて、何がそのままであるかを一文で書き留めてください。
詰まったら初期化に戻り、デフォルトの結果を見た後、条件を1つだけ置き換えます。このLabは正解判定器ではなく、パターン観察ツールです。
同じサンプルで異なる3つの質問に答えてください
正規生成プロセスμ=10、σ=3を使用します。平均、次の 1 つの観測、母集団の観測値の 95% という 3 つの対象を同じ軸で比較します。
同じ標本の3つの区間
今回のサンプル
95％/ 95％TIは、サンプルベースの両側正規許容区間の近似値です。正規性・独立標識条件が合わない場合は、別の方法が必要です。
CI: 両側 Student t 平均区間 · PI: 未知の平均の次の 1 つの正規観測に対する両側 t 予測区間 · TI: NIST Table 9.6 ベースの両側 95% confidence/95% coverage 正規許容係数。教育用合成資料であり、承認・規格・comparability判断には使用できません。
Labでμとσが見えるのは生成過程を定義したからです。実分析では未知であり、モデル選択と標本範囲を先に検討します。
JMPでは三結果の入力質問が違います
現在のJMP Distributionには連続変数のConfidence Intervals、Prediction Intervals、Tolerance Intervalsが別結果としてあります。クリック順ではなく対象を読みます。
MeanやStd Devなどのパラメータの信頼限界を区別して表示します。
次のランダム観測 1 つまたは次のサンプルの概要を目指します。
Confidence LevelとProportion to Coverを別々の入力として扱います。
Prediction Intervalでは一未来観測か未来標本の要約かを区別し、confidence levelと未来標本数も解釈に影響します。Tolerance Intervalではconfidence levelとproportion to coverが別入力で、これが二つの百分率です。
- 対象は母数、一未来観測、母集団比率のどれか。
- 独立単位と母集団範囲は何か。
- 分布仮定は適切か。
- 片側限界か両側区間か。
- TIのconfidenceとcoverageを両方記録したか。
- 規格・受入基準はデータから独立に決めたか。
報告文には対象まで含めます
悪い文: 95%区間は6.2–14.1だった。
良い文:
独立試料20個から、母平均の両側95% Student t信頼区間は8.8–11.6だった。
同じ正規生成過程で、次の独立観測一つの両側95%予測区間は3.5–16.9だった。
正規モデル下で母集団観測値の少なくとも95%を95% confidenceで含む両側許容区間は1.7–18.7だった。
数字は標本ごとに変わっても文構造は維持します。対象、水準、方向、モデル、独立nを残します。
終了前に確認する五文
- CIは平均などの母数を狙います。
- PIは次の一独立観測の自然変動を含みます。
- TIは指定母集団比率を指定confidenceで覆います。
μ±1.96σと標本ベース95%/95% TIは同じではありません。- 統計区間は規格やcomparability基準を自動設定・承認しません。
次単元では範囲から、観測された差が偶然だけでも生じ得るかへ移ります。帰無仮説・対立仮説、p-value、α、意思決定規則の誤りをつなぎます。
公式補足資料
- NIST/SEMATECH · Tolerance intervals for a normal distribution
- NIST/SEMATECH · Prediction and tolerance intervals
- JMP Help · Prediction Intervals
- JMP Help · Confidence Interval for One Sample Mean
この記事の数値、図、In-Silico Labは統計概念を説明する合成資料です。実研究・臨床・品質・規制・comparability判断の根拠には使えません。