培地A、B、C、Dの平均収量を全ペアのt-testで比べると、検定は6回になります。各検定でα=.05を使えば、「どこか一つでも」偽陽性が出る機会が増えます。
この単元の問いは一つです。
三群以上で、平均差を一つの共通エラー基準の下でどう問うか。
ANOVAは平均そのものではなく変動の比を計算します
一元ANOVAの帰無仮説は H0: μ₁=μ₂=…=μk です。対立仮説は「すべての平均が異なる」ではなく、少なくとも一つの平均が異なるです。この全体の問いをomnibus検定と呼びます。
全体平均からの観測値の総変動を二つに分けます。
- 群間変動: 各群平均が全体平均から離れる程度
- 群内変動: 各観測値が自群平均の周りで揺れる程度
SS_total = SS_between + SS_within
平方和SSは点の数が多ければ自然に大きくなります。そこで各SSを自由度dfで割った平均平方MSを作り、F=MS_between/MS_withinを計算します。H0の下では二つのMSは同じ誤差分散を狙うので、Fは1付近になりがちです。群平均の分離が群内ノイズより大きいほどFは大きくなります。
ANOVA表の各列は一つの文でつながります
群数k、独立観測の総数Nなら:
- between df =
k−1 - within df =
N−k MS_between=SS_between/(k−1)MS_within=SS_within/(N−k)F=MS_between/MS_within
ANOVA p-valueは、H0とモデルの下で現在のF以上が出る確率です。有意なFは「どこかに差がある」証拠であり、どの群か、差がどれほどか、すべての群が異なるかは示しません。
omnibus結果の後には、群別の平均・SD・n、効果量、計画比較または多重性調整済み事後比較とCIが必要です。最大平均を自動的に「最適」と呼ばないでください。
反復t-testと事後比較の違い
解析前に特定比較が科学的な問いだったなら、計画比較として明記できます。データの後に全ペアを探索するなら、Tukey HSDのようにfamily-wise errorを制御する事後比較が候補です。複数処理を一つの対照群と比べるDunnettのように、目的に合う方法を使います。
調整法を使うと個別CIは広くなることがあります。これは罰ではなく、多くの機会を一つのエラー約束で束ねる代価です。ANOVAが非有意でも任意のペアp-valueだけを選んで報告することには、事前計画と方法による正当化が必要です。
仮定は群別正規性p値の集合ではありません
古典的一元ANOVAは、独立誤差、群ごとのおおよその正規性、等分散を置きます。均衡設計にはある程度の頑健性がありますが、小さいn、強い歪み、外れ値、分散とnの逆関係では問題が大きくなります。
Welch ANOVAは等分散への依存を減らす代案です。順位に基づくKruskal–Wallisは平均ANOVAの無仮定版ではなく、分布と位置の解釈が異なります。反復測定やクラスター資料は一元ANOVA表にそのまま入れず、混合モデルなど構造に合う解析が必要です。
In-Silico Lab: SSを手で確認する
三群の合成平均は 10、10+d、10+2d です。
- d=0でFが正確に1へ固定されないことを見ます。
- dを上げ、SS_betweenとFが大きくなる傾向を確認します。
- seedを変え、SS_withinとFが変わる理由を説明します。
- 表示された
SS_between + SS_withinが総SSと同じか、計算エンジンで検証します。
세 평균의 분리와 집단내 흔들림을 나누세요
세 집단 평균 패턴을 바꾸어 SS_between, SS_within과 F ratio가 어떻게 연결되는지 봅니다.
처음이라면: 무엇을 눌러야 하나요?
- 1. 질문을 먼저 읽기Lab 제목에서 이번에 비교할 한 가지를 확인합니다.
- 2. 조건 하나만 바꾸기처음에는 n, 효과, 산포 같은 입력 중 하나만 바꾸십시오.
- 3. 새 합성 표본 누르기새 합성 데이터가 만들어집니다. 같은 조건도 표본에 따라 달라질 수 있습니다.
- 4. 그림과 계산 결과 비교하기바꾸기 전후 무엇이 움직이고 무엇이 그대로인지 한 문장으로 적어보십시오.
막히면 초기화로 돌아가 기본 결과를 본 뒤 조건 하나만 바꾸십시오. 이 Lab은 정답 판정기가 아니라 패턴 관찰 도구입니다.
같은 설정의 합성 관측
계산 결과
F가 크다는 것은 집단간 신호가 집단내 잡음보다 크다는 뜻입니다. 어느 쌍이 다른지는 별도 비교가 필요합니다.
교육용 synthetic model · bjs-comparison-sequence-v1. 실제 연구 판단에는 실험단위, 결측, 분포, 다중성, 사전계획과 도메인 기준을 별도로 반영해야 합니다.
JMP ANOVAの解釈は分解表から始めます
SS·df·MS·F가 변동 분해를 표로 보여줍니다.
분산과 n이 크게 다른 상황의 대안을 표시합니다.
omnibus 뒤 사전 비교나 보정된 사후비교를 해석합니다.
Analysis of VarianceのSource、DF、Sum of Squares、Mean Square、F Ratio、Prob > Fを左から右へ読みます。Summary of FitのR²だけで良いモデルと結論しません。群別の元データと残差、Welch結果、事後比較の同時CIまでつなげます。
結果文の例
独立batchの4条件の平均収量を一元ANOVAで比較した（各n=8）。条件効果はF(3,28)=5.42、p=.004だった。事前指定の対照群とのDunnett比較で、B−Aは3.1 percentage points（同時95% CI 0.8–5.4）で、CとDのCIは0を含んだ。残差図に明瞭な曲率や分散増加パターンは見られなかった。
この単元の要点
- ANOVAの対立仮説は少なくとも一平均が異なることです。
- 総SSは群間SSと群内SSに正確に分解されます。
- Fは二つの平均平方の比です。
- omnibus p-valueはどの群が異なるかを示しません。
- 計画比較と調整済み事後比較は、問いの時点と範囲が異なります。
- 反復・クラスター構造を独立一元ANOVAに縮約しません。
次の単元では、非有意結果を「同じ」と誤解する問題を正面から扱い、同等性限界とTOSTを学びます。
公式補足資料
この記事の数値・図・Labは教育用の合成資料です。