U22の中心点は、平面モデルが中央の応答を外す可能性を示しました。しかし中心という1つの位置だけでは、A²とB²を別々に推定できません。曲率の方向を見分けるには、因子軸に沿った複数の位置で測定する必要があります。
このセクションの問いは次のとおりです。
曲率があるとき、2次曲面を見るにはどこを測ればよいでしょうか？
応答曲面は入力の組合せと平均応答の関係です
2つの連続因子xとyに対する2次モデルには、次の項があります。
ŷ = β₀ + β₁x + β₂y + β₁₁x² + β₂₂y² + β₁₂xy
x、y：各方向の傾きx²、y²：各軸方向の曲率xy：一方の因子の位置によって他方の傾きが変わる交互作用
応答曲面法（Response Surface Methodology, RSM）は、このモデルを当てはめられるように実験点を配置し、その曲面上で候補条件を探索する逐次的な方法です。式を複雑にすることが目的ではなく、測定範囲内の曲がりをデータで識別することが目的です。
CCDは3種類の点を組み合わせます
2因子の中心複合計画（Central Composite Design, CCD）は、通常、次の点で構成されます。
- 要因点（factorial point）：
(−1,−1)、(−1,+1)、(+1,−1)、(+1,+1) - 軸点（axial point）：
(±α,0)、(0,±α) - 中心点（center point）：
(0,0)の反復
軸点は、他の因子を中央に固定したまま、1本の軸の両側を測定します。これにより、x²とy²の効果を別々に調べる情報が得られます。独立した中心点反復は、中央での応答と純誤差を推定する情報を与えます。
軸距離αは有意水準αではありません
ここでαは、中心から軸点までのコード化距離です。2因子要因blockを持つ回転可能なCCDでは、α=(2²)^(1/4)=√2≈1.414がよく使われます。有意水準0.05と同じ記号ですが、まったく別の量です。
回転可能性とは、中心から同じ距離にある点なら方向にかかわらず予測分散が等しくなる計画特性です。実際の実験で常に最も安全な計画になるという意味ではありません。
同じCCDでもCCC、CCI、CCFでは範囲が異なります
| CCDの形式 | 軸点と要因点の位置 | 実験範囲についての問い |
|---|---|---|
| Circumscribed, CCC | 要因点±1、軸点±α | 軸点が元の範囲外でも実施可能か？ |
| Inscribed, CCI | 軸点を範囲限界に置き、要因点を内側へ縮小 | 既存の物理範囲を超えてはならないか？ |
| Face-Centered, CCF | 軸点±1、要因点±1 | 完全な回転可能性を犠牲にして3水準だけを使えるか？ |
コード化座標を定めたら実単位へ変換します。例えば温度範囲が30–40°Cなら、コード値0は35°Cです。α=1.414のCCC軸点は約27.9°Cと42.1°Cになります。この条件が安全でなければ、数学的な対称性より物理的制約を優先します。
材料の不安定性、装置限界、培養生存性など、実行不能または危険な条件を先に除外してください。CCI、CCF、Box-Behnken、または制約付き候補集合から作るCustom Designを検討できます。
Box-Behnkenは立方体の頂点を使いません
3因子Box-Behnken計画の非中心点はedge centerにあります。2因子を±1、残りの1因子を0に置きます。全因子が同時に極値となる立方体の頂点は含みません。
3因子の同時極値が危険な場合には有用ですが、実際の禁止領域を自動的に理解するわけではありません。edge center自体が実行不能なこともあるため、候補条件を個別に確認します。run数だけでCCDとBBDの優劣を判断してはいけません。
計画を選ぶ前に4点を固定します
- どの2次項と交互作用を推定するか？
- 実単位でのstudied rangeはどこか？
- 中心点反復とblockをいくつ含めるか？
- 軸点とedge centerは実際に実行可能で安全か？
その後、Design Evaluationでモデル項の推定可能性と領域ごとの予測分散を確認します。
In-Silico Lab：座標と危険範囲を比較する
- CCDのαを1から1.682へ変え、コード座標の最大値を観察します。
- 中心点数を変え、総run数がどう変わるか確認します。
- Box-Behnkenを選び、3因子15-run構造のx-y投影を確認します。
- 最大
|coded|>1となるCCDで、実際の許容範囲外に軸点が生成されるか説明します。
CCDとBox-Behnkenの測定位置を比較
設計タイプとCCD軸点距離αを変えて、ラン数、中心点、設計範囲外の座標がどのように異なるかを確認します。
初めての場合：何を押すべきですか？
- 1.質問を最初に読むLabタイトルで今回比較する1つを確認してください。
- 2.条件を1つだけ変更する最初は、n、効果、散布などの入力の1つだけを変更します。
- 3. 新しい合成サンプル 押す新しい合成データが作成されます。同じ条件も標本によって変わり得る。
- 4. 図と計算結果 比較する変更の前後に何が動いて、何がそのままであるかを一文で書き留めてください。
詰まったら初期化に戻り、デフォルトの結果を見た後、条件を1つだけ置き換えます。このLabは正解判定器ではなく、パターン観察ツールです。
同じ設定の合成観測
計算結果
実行数が少ないため、危険または実行不可能な点を選択しません。 coded座標を実際の単位と装備・工程制約で再確認してください。
教育用 synthetic model ·bjs-response-surface-sequence-v1。 1行は、特に指示がない限り、1つの独立したシミュレーションまたはデザインランです。実際の研究・品質・規制判断には使用できません。
Labは座標生成器です。応答値は使わず、各行が1つの計画runです。同じ中心点行は、実際の実験では独立して反復することで純誤差の情報を与えます。
JMPでは生成前に評価を読みます
factorial・軸点・中心点の座標と実行数を評価します。
モデル項の推定可能性と領域別の予測情報を表示します。
coded 座標を実際の単位・安全範囲とともに確認します。
Response Surface Designの候補一覧はrun数だけを示す表ではありません。計画の幾何、推定可能性、予測分散、blockと中心点反復が事前に定めたモデル目的に合うかを評価します。生成tableのコード化列と実単位列が計画範囲に一致することも確認します。
結果記述の例
2つの連続因子に対するfull quadraticモデルのため、4つの要因点、4つの軸点、5つの独立した中心点反復からCCF計画を構成しました。すべてのコード座標は事前に定めた安全範囲−1～+1内にあり、6つのモデル項を推定できました。この計画は現在のstudied range内で2次曲面を推定するものであり、範囲外への外挿を支持しません。
このセクションのまとめ
- RSMは曲率を推定する座標と2次モデルを結び付けます。
- CCDは要因点、軸点、中心点を組み合わせます。
- 軸距離αと有意水準αは異なります。
- Box-Behnkenは全因子が同時に極値となる立方体の頂点を使いません。
- 数学的効率より、実用範囲、安全性、実行可能性を優先します。
次のセクションでは、この計画表へ応答を入力した後、2次モデルが十分かどうかを疑う方法を確認します。
公式補足資料
この記事とLabは教育用の合成計画であり、実際の研究、工程、品質、規制判断の証拠として使用できません。