培養液中の代謝物濃度が高いほど、細胞生存率も高くなりました。二つの変数の相関係数がr=.78なら、代謝物を増やせば生存率が上がると結論づけられるでしょうか。相関は出発点ですが、原因についての結論ではありません。
この単元の問いは一つです。
二つの変数が共に動くという事実から、どこまで言えるでしょうか。
相関係数は線形な連動を−1から+1に圧縮します
Pearsonの相関係数rは、二つの変数がそれぞれの平均から外れる方向を共にするかを標準化して要約します。
- r>0：Xが大きい観測でYも大きくなる線形の傾向
r < 0：Xが大きい観測でYは小さくなる線形の傾向- |r|が1に近い：点が一本の直線の近くにある
- r≈0：線形な連動が弱い
r=0は関係がないことを意味しません。完全なU字型の関係では、両側の傾きが相殺されてrが0付近になることがあります。一つの数値を計算する前に散布図を描くべきです。
相関係数はXとYの単位を消すため比較しやすくなりますが、実際の変化量は示しません。「Xが1増えるとYがどれだけ変わるか」は回帰係数の問いであり、次の単元で扱います。
同じrでも全く異なるデータを隠すことがあります
散布図で次の要素を確認してください。
- 線形性：直線の周辺にあるか、曲線・閾値・飽和があるか。
- 外れ値：一、二点が方向と大きさを支配していないか。
- 範囲制限：Xの狭い一部だけを観測していないか。
- 群集：plate、donor、日付ごとのまとまりがあるか。
- 不均一分散：Xが大きくなるほどYの広がりも大きくなるか。
- 測定誤差：XとYの反復精度が関係を弱めていないか。
対象を健康な成人に限定すると、全人口では強い年齢と指標の関係が弱く見えることがあります。逆に二つのbatch群集をまとめると、各群集内に関係がなくても全体のrが大きくなることがあります。
一人のdonor由来の20個の細胞を20個の独立点として描くと、群集構造のためp値が過度に小さくなることがあります。donorごとの要約、反復測定相関、または階層モデルが必要です。点の数と独立情報量は同じではありません。
相関は方向を入れ替えても同じ値であり、原因を指定しません
cor(X,Y)=cor(Y,X)です。相関は、どちらが説明変数でどちらが反応なのかを決めません。高いrには複数の説明があります。
- XがYに影響する。
- YがXに影響する。
- 第三の変数Zが両方に影響する。
- 選択、測定、時間的傾向が人工的な関係を作った。
- 偶然と多重探索により大きなrが選ばれた。
因果を判断するには、時間順序、操作可能な設計、無作為化、交絡の制御、機序、再現が必要です。相関のp値が小さくても、これらの条件が自動的に満たされるわけではありません。
p値とCIはnに依存します
H0：母集団の線形相関ρ=0の検定にはrとnを使います。nが大きければ小さなrでも有意になり得ます。nが小さければ大きなrのCIも広くなります。r、CI、独立n、散布図を一緒に報告してください。
多くの遺伝子とendpointの相関行列で数千件を検定すると、偶然に小さなp値が多数生じます。解析前に候補を絞るか、FDRなどの多重性制御と独立した検証を計画する必要があります。
In-Silico Lab：rの脆さを自分で作ります
- 傾きを−2、0、+2に変えてrの方向を見ます。
- 曲率を上げ、関係は強いのにrが弱い状況を作ります。
- 一つの外れ値を加え、rがどれほど動くかを見ます。
- 新しいseedで、同じ生成条件の標本rが変わるかを確認します。
산점도를 바꾸고 r의 취약성을 보세요
기울기·noise·곡률·이상값을 바꾸며 같은 계수 뒤에 다른 모양이 숨는지 확인합니다.
처음이라면: 무엇을 눌러야 하나요?
- 1. 질문을 먼저 읽기Lab 제목에서 이번에 비교할 한 가지를 확인합니다.
- 2. 조건 하나만 바꾸기처음에는 n, 효과, 산포 같은 입력 중 하나만 바꾸십시오.
- 3. 새 합성 표본 누르기새 합성 데이터가 만들어집니다. 같은 조건도 표본에 따라 달라질 수 있습니다.
- 4. 그림과 계산 결과 비교하기바꾸기 전후 무엇이 움직이고 무엇이 그대로인지 한 문장으로 적어보십시오.
막히면 초기화로 돌아가 기본 결과를 본 뒤 조건 하나만 바꾸십시오. 이 Lab은 정답 판정기가 아니라 패턴 관찰 도구입니다.
같은 설정의 합성 관측
계산 결과
r은 선형 모양의 요약입니다. 인과·재현성·군집 독립성은 별도 질문입니다.
교육용 synthetic model · bjs-relationship-sequence-v1. 실제 연구 판단에는 실험단위, 결측, 분포, 다중성, 사전계획과 도메인 기준을 별도로 반영해야 합니다.
Labの線は説明を助ける単純回帰線です。線が見えても、因果や外挿可能性が生まれるわけではありません。
JMPでは行列より先に各散布図を見ます
상관계수보다 먼저 모양·범위·군집·이상값을 봅니다.
r의 부호와 크기, n과 p값을 함께 읽습니다.
타원은 선형 관계 표현이며 인과 구조를 보증하지 않습니다.
Correlation Matrixは多くの組を圧縮しますが、非線形や外れ値を隠します。Scatterplot Matrixで各組の形を確認し、density ellipseは線形正規構造を要約する補助表現として読みます。楕円の傾きは因果の方向を示しません。
結果文の例
独立した42 batchにおいて、代謝物XとviabilityのPearson相関は.61（95% CI .38–.77）でした。散布図には正の線形傾向が見られましたが、二つの高濃度点の影響があり、batch日付で色分けすると群集が一部を説明しました。この観察研究の相関を、Xを増やす因果効果とは解釈しませんでした。
この単元のまとめ
- rは線形な連動の方向と標準化された大きさです。
- r≈0でも非線形の関係があることがあります。
- 外れ値、範囲制限、群集、交絡はrを大きく変えます。
- 相関はXとYの因果方向を決めません。
- p値だけでなく、r・CI・独立n・散布図を一緒に見ます。
- 大規模な相関探索には多重性の制御と検証が必要です。
次の単元では、関係をY=β₀+β₁X+εで表し、直線が見落としたものを残差から探します。
公式補足資料
この記事の例とLabは教育用合成データです。