二つの因子AとBをlow/highの二水準で実験すると、四つの組合せが生まれます。四つの点は単なる一覧ではなく、正方形の四つの頂点です。この対称な構造が主効果と交互作用を互いに分離します。
この単元の問いは一つです。
すべての水準組合せを実験すると、どの効果を混ぜずに見ることができるでしょうか。
2²完全要因計画は四つの頂点をすべて含みます
lowを−1、highを+1にcodingすると、設計表は次の列を持ちます。
| A | B | AB |
|---|---|---|
| −1 | −1 | +1 |
| +1 | −1 | −1 |
| −1 | +1 | −1 |
| +1 | +1 | +1 |
AB列はA×Bです。A、B、ABの各列には+1と−1が同数あり、均衡しています。異なる二列の要素ごとの積を合計すると0になります。これがこの文脈での直交性です。
直交性のおかげで、A効果を計算するときBとABの+/−は均衡して相殺されます。ある効果の推定値が他の効果の真値に引かれません。ただし、欠測run、不均衡な重み、実行失敗が起きると、この完全な直交構造は崩れます。
主効果はhigh水準平均とlow水準平均の差です
A effect = mean(Y | A=+1) − mean(Y | A=−1)
Bの二水準にわたって平均するため、これはAに伴う平均的な変化です。B効果も同じように定義します。AB効果は、AB列が+1である二頂点の平均から、−1である二頂点の平均を引きます。
±1 codedの回帰式がŷ=b₀+bAA+bBB+bABABなら、各回帰係数は対応するfactorial effectの半分です。Aを−1から+1へ動かすと、coded unitを二単位移動するからです。
ABが大きいとき、Aの平均主効果は異なる二つのB条件での効果を平均した値にすぎません。interaction plotと条件別のsimple effectを一緒に解釈してください。交互作用のあるモデルから関連する主効果を除くと、階層性が崩れます。
非平行な線は条件への依存を示します
B=lowとB=highごとに、A low/highの平均を線で結びます。
- 二本の線が平行：AB effectは0
- 傾きが異なる：交互作用
- 線が交差する：A効果の方向がB水準によって反転し得る
線が少し非平行であることだけで、実質的な交互作用と断定してはいけません。独立複製で純粋誤差を推定し、effect CI、ANOVA、残差を見ます。各組合せを一回だけ実行する飽和2²では、全効果を適合すると残差自由度がありません。
2³は立方体の八つの頂点です
三因子二水準なら8 runで、A、B、C、AB、AC、BC、ABC効果があります。全組合せを見ると、これら七つの効果列は直交します。因子がk個ならrun数は2^kとして急速に増えます。この増加がU20の部分要因計画を必要にしますが、まず完全計画で何が分離されるかを知ってこそ、runを節約する代価を理解できます。
In-Silico Lab：手計算と回帰係数を対応させます
LabはY=70+8A+5B+γABの四頂点をすべて作ります。
- A effect=16、B effect=10になることを確認します。
- γ=6なら、AB effect=12、回帰係数=6となる理由を見ます。
- 各列の+/−和と列間の積和を計算し、均衡と直交性を確認します。
- 四つの反応の一つを消すとどのような問題が起きるか考えます。
2²設計表から効果を直接復元する
4組合せの反応でA・B・AB効果と±1符号化回帰係数を比較します。
初めての場合：何を押すべきですか？
- 1.質問を最初に読むLabタイトルで今回比較する1つを確認してください。
- 2.条件を1つだけ変更する最初は、n、効果、散布などの入力の1つだけを変更します。
- 3. 新しい合成サンプル 押す新しい合成データが作成されます。同じ条件も標本によって変わり得る。
- 4. 図と計算結果 比較する変更の前後に何が動いて、何がそのままであるかを一文で書き留めてください。
詰まったら初期化に戻り、デフォルトの結果を見た後、条件を1つだけ置き換えます。このLabは正解判定器ではなく、パターン観察ツールです。
同じ設定の合成観測
| run | A | B | AB | Y |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -1 | -1 | 1 | 63.0 |
| 2 | -1 | 1 | -1 | 61.0 |
| 3 | 1 | -1 | -1 | 67.0 |
| 4 | 1 | 1 | 1 | 89.0 |
計算結果
効果の符号は high-low と反応の良い方向を一緒に書かなければ解釈できます。
教育用 synthetic model ·bjs-factorial-sequence-v1。実際の研究判断には、実験単位、欠測、分布、多重性、事前計画とドメイン基準を別々に反映しなければなりません。
JMP出力は設計表と効果図をつなぎます
−1/+1 組み合わせ、バランスと実行数を確認します。
高レベル平均と低レベル平均の違いを効果的に読みます。
頂点応答と非平行性を空間で確認します。
Design Tableのcoded levelと実際の単位を混同しないでください。Effect Estimatesはcoding conventionに従って方向を示します。Cube PlotとInteraction Plotは生データを圧縮した平均表現なので、複製点の広がりと残差も確認します。
結果文の例
温度（A：30/37°C）とpH（B：6.8/7.4）の2²完全要因計画を、独立したbatchで2回複製しました。high−low基準の温度効果は+16.2、pH効果は+9.8、AB交互作用効果は+11.5 unitsでした。正のABは、高温でpH効果がより大きかったことを意味しました。coded式と自然単位式、run順序、残差診断を一緒に保管しました。
この単元のまとめ
- 完全要因計画は因子水準の全組合せを含みます。
- ±1 codingは均衡と直交構造を明確にします。
- 主効果は他の因子にわたって平均したhigh−low差です。
- coded回帰係数は二水準factorial effectの半分です。
- 交互作用が大きいときは条件別の効果を解釈します。
- 複製のない飽和計画には残差自由度がありません。
次の単元では、同じ四組合せを実行しても、順序・複製・blockによって証拠の質がなぜ変わるのかを扱います。
公式補足資料
この記事の設計とLabは教育用合成データです。