U22의 중심점은 평면이 가운데를 놓칠 수 있다고 알려줬습니다. 하지만 중심점 하나의 위치만으로는 A²과 B²을 따로 추정할 수 없습니다. 곡률의 방향을 보려면 요인축의 여러 위치를 측정해야 합니다.
이번 단원의 질문은 하나입니다.
곡률이 있을 때 어디를 측정해야 2차 곡면을 볼 수 있는가?
반응표면은 입력조합과 평균반응의 관계입니다
두 연속요인 x와 y의 2차모형은 다음 항들을 가집니다.
ŷ = β₀ + β₁x + β₂y + β₁₁x² + β₂₂y² + β₁₂xy
x,y: 각 방향의 기울기x²,y²: 각 축 방향의 곡률xy: 한 요인의 기울기가 다른 요인 위치에 따라 달라지는 교호작용
Response Surface Methodology, RSM은 이 모형을 적합할 수 있는 실험점을 배치하고, 그 곡면에서 조건 후보를 탐색하는 순차 방법입니다. 식을 복잡하게 만드는 것이 목적이 아니라 측정 범위 안의 휘어짐을 데이터로 구분하는 것이 목적입니다.
CCD는 세 종류의 점을 합칩니다
2요인 Central Composite Design은 보통 다음 점으로 구성됩니다.
- factorial point:
(−1,−1),(−1,+1),(+1,−1),(+1,+1) - axial point:
(±α,0),(0,±α) - center point:
(0,0)의 반복
축점은 다른 요인을 중심에 고정하고 한 축의 양쪽을 측정합니다. 그래서 x²과 y²을 따로 볼 정보가 생깁니다. 중심점 반복은 안정적인 중앙값과 pure error를 제공합니다.
축점거리 α는 유의수준 α가 아닙니다
여기서 α는 중심에서 축점까지의 coded 거리입니다. 2요인 factorial block의 회전가능 CCD에서는 흔히 α=(2²)^(1/4)=√2≈1.414를 사용합니다. 유의수준 0.05와 이름만 같고 완전히 다른 양입니다.
rotatability는 중심에서 같은 거리에 있는 점들이 방향과 무관하게 같은 예측분산을 갖도록 하는 설계 성질입니다. 이것이 언제나 실제 실험에 가장 안전한 설계라는 뜻은 아닙니다.
CCC·CCI·CCF는 같은 이름 아래 범위가 다릅니다
| CCD 변형 | 축점과 factorial의 위치 | 실험 범위 질문 |
|---|---|---|
| Circumscribed, CCC | factorial ±1, axial ±α | 축점이 원래 범위 밖이어도 가능한가? |
| Inscribed, CCI | axial을 범위 끝에 두고 factorial을 안쪽으로 축소 | 기존 물리 범위를 넘지 않아야 하는가? |
| Face-Centered, CCF | axial ±1, factorial ±1 | 세 수준만 가능하고 완전 회전성은 포기할 수 있는가? |
coded 좌표를 정한 뒤 실제 단위로 환산합니다. 예를 들어 온도 범위가 30～40°C라면 coded 0은 35°C이고, CCC의 α=1.414 축점은 약 27.9°C와 42.1°C가 됩니다. 이 조건이 안전하지 않다면 수학적 대칭보다 물리 제약이 우선입니다.
재료 안정성, 장비 범위, 배양 생존성처럼 실행 불가능하거나 위험한 조건은 먼저 제거하십시오. CCI·CCF·Box-Behnken 또는 제약 후보를 쓰는 Custom Design을 검토할 수 있습니다.
Box-Behnken은 cube corner를 피합니다
3요인 Box-Behnken 설계의 비중심점은 두 요인이 ±1이고 나머지 한 요인이 0인 edge-center에 놓입니다. 모든 요인이 동시에 극단인 cube corner를 포함하지 않습니다.
이는 세 요인의 동시 극단이 위험할 때 유용할 수 있지만, 실제 금지영역을 자동으로 이해하는 것은 아닙니다. 면의 변 중앙도 실행 불가능할 수 있으므로 후보조건을 별도로 검토합니다. run 수만 보고 CCD와 BBD의 우열을 정하지 않습니다.
설계 선택 전에 네 가지를 고정합니다
- 어떤 2차항과 교호작용을 추정할 것인가?
- 실제 단위의 studied range는 어디까지인가?
- 반복 중심점과 block을 몇 개 둘 것인가?
- 축점·edge-center가 실제로 실행 가능하고 안전한가?
그 뒤 Design Evaluation에서 모형항 estimability와 영역별 prediction variance를 확인합니다.
In-Silico Lab: 좌표와 위험범위를 비교합니다
- CCD α를 1에서 1.682로 바꾸며 최대 coded 좌표를 봅니다.
- 중심점 수를 바꾸고 전체 run 수가 어떻게 변하는지 확인합니다.
- Box-Behnken을 선택해 3요인 15-run 구조의 x-y 투영을 봅니다.
- 최대
|coded|>1인 CCD에서 실제 허용범위 밖 축점이 생기는지 설명합니다.
CCD와 Box-Behnken의 측정 위치를 비교하세요
설계 유형과 CCD 축점거리 α를 바꾸어 run 수, 중심점, 설계범위 밖 좌표가 어떻게 달라지는지 확인합니다.
처음이라면: 무엇을 눌러야 하나요?
- 1. 질문을 먼저 읽기Lab 제목에서 이번에 비교할 한 가지를 확인합니다.
- 2. 조건 하나만 바꾸기처음에는 n, 효과, 산포 같은 입력 중 하나만 바꾸십시오.
- 3. 새 합성 표본 누르기새 합성 데이터가 만들어집니다. 같은 조건도 표본에 따라 달라질 수 있습니다.
- 4. 그림과 계산 결과 비교하기바꾸기 전후 무엇이 움직이고 무엇이 그대로인지 한 문장으로 적어보십시오.
막히면 초기화로 돌아가 기본 결과를 본 뒤 조건 하나만 바꾸십시오. 이 Lab은 정답 판정기가 아니라 패턴 관찰 도구입니다.
같은 설정의 합성 관측
계산 결과
run 수가 적다는 이유로 위험하거나 실행 불가능한 점을 선택하지 않습니다. coded 좌표를 실제 단위와 장비·공정 제약으로 다시 확인하십시오.
교육용 synthetic model · bjs-response-surface-sequence-v1. 한 행은 별도 표시가 없는 한 하나의 독립 simulation 또는 설계 run입니다. 실제 연구·품질·규제 판단에는 사용할 수 없습니다.
Lab은 좌표 생성기입니다. 반응값을 사용하지 않으며, 한 행은 하나의 설계 run입니다. 동일한 중심점 행은 실제 실험에서 독립 반복되어야 pure error를 제공합니다.
JMP에서는 생성보다 평가를 먼저 읽습니다
factorial·축점·중심점의 좌표와 실행 수를 평가합니다.
모형항 추정 가능성과 영역별 예측정보를 봅니다.
coded 좌표를 실제 단위·안전 범위와 함께 확인합니다.
Response Surface Design의 후보목록은 run 수만 보여주는 표가 아닙니다. design geometry, estimability, prediction variance, block과 center run이 사전 모형 목적에 맞는지 봅니다. 생성된 table의 coded 열과 실제 단위 열이 계획 범위와 일치하는지도 확인합니다.
결과 문장 예시
두 연속요인의 full quadratic 모형을 위해 factorial 4점, axial 4점과 독립 중심점 5회로 CCF 설계를 구성했다. 모든 coded 좌표는 −1~+1의 사전 안전범위 안에 있었고 6개 모형항이 추정 가능했다. 이 설계는 현재 studied range의 2차곡면 추정을 목적으로 하며 범위 밖 외삽을 지지하지 않는다.
단원을 마치며
- RSM은 곡률을 추정할 좌표와 2차모형을 연결한다.
- CCD는 factorial·axial·center point를 합친다.
- 축점거리 α는 유의수준 α와 다르다.
- Box-Behnken은 모든 요인이 동시에 극단인 cube corner를 쓰지 않는다.
- 수학적 효율보다 실제 범위·안전·실행 가능성이 먼저다.
다음 단원에서는 이 설계표에 반응을 입력한 뒤 2차모형이 충분한지 의심하는 방법을 봅니다.
공식 보충 자료
- NIST/SEMATECH · Response Surface Designs
- NIST/SEMATECH · Comparing Response Surface Designs
- JMP Knowledge Portal · Box-Behnken Designs
이 글과 Lab은 교육용 합성 설계이며 실제 연구·공정·품질·규제 판단의 증거가 아닙니다.