두 요인 A와 B를 low/high 두 수준으로 실험하면 네 조합이 생깁니다. 네 점은 단순 목록이 아니라 정사각형의 네 꼭짓점이며, 이 대칭 구조가 주효과와 교호작용을 서로 분리합니다.
이번 단원의 질문은 하나입니다.
모든 수준 조합을 실험하면 어떤 효과를 서로 섞이지 않게 볼 수 있는가?
2² 완전요인설계는 네 꼭짓점을 모두 포함합니다
low를 −1, high를 +1로 coding하면 설계표는 다음 열을 갖습니다.
| A | B | AB |
|---|---|---|
| −1 | −1 | +1 |
| +1 | −1 | −1 |
| −1 | +1 | −1 |
| +1 | +1 | +1 |
AB 열은 A×B입니다. A, B, AB 각 열에는 +1과 −1이 같은 수로 있어 균형이고, 서로 다른 두 열의 원소별 곱을 더하면 0입니다. 이것이 이 맥락의 직교성입니다.
직교성 덕분에 A 효과를 계산할 때 B와 AB의 +/−가 균형 있게 상쇄됩니다. 특정 효과 추정이 다른 효과의 참값에 끌려가지 않습니다. 단, 결측 run, 불균형 가중, 실행 실패가 생기면 이 완전한 직교 구조가 깨질 수 있습니다.
주효과는 고수준 평균과 저수준 평균의 차이입니다
A effect = mean(Y | A=+1) − mean(Y | A=−1)
B 수준 두 개에 걸쳐 평균내므로 A의 평균적인 변화입니다. B 효과도 같습니다. AB effect는 AB 열이 +1인 두 꼭짓점 평균에서 −1인 두 꼭짓점 평균을 뺍니다.
±1 coded 회귀식이 ŷ=b₀+bAA+bBB+bABAB라면 각 회귀계수는 해당 factorial effect의 절반입니다. A가 −1에서 +1로 2 coded unit 이동하기 때문입니다.
AB가 크면 A의 평균 주효과는 서로 다른 두 B 조건의 효과를 평균낸 값일 뿐입니다. interaction plot과 조건별 simple effect를 함께 해석해야 합니다. 교호작용이 있는 모형에서 관련 주효과를 빼면 계층이 무너집니다.
비평행선은 조건 의존성을 보여줍니다
B=low와 B=high에서 A low/high 평균을 선으로 연결합니다.
- 두 선이 평행: AB effect 0
- 기울기가 다름: interaction
- 선이 교차: A 효과의 방향이 B 수준에 따라 반전될 수 있음
선이 조금 비평행하다는 것만으로 실질적 interaction이라 단정하지 않습니다. 독립 복제에서 순수오차를 추정하고 effect CI, ANOVA와 잔차를 봅니다. 단 한 번씩만 실행한 포화 2²에서는 모든 효과를 적합하면 잔차 자유도가 없습니다.
2³는 정육면체 여덟 꼭짓점입니다
세 요인 2수준이면 8 run이고 A, B, C, AB, AC, BC, ABC 효과가 있습니다. 모든 조합을 보면 이 7개 효과 열이 직교합니다. 요인이 k개면 2^k run으로 빠르게 증가합니다. 실행 증가가 U20의 부분요인설계를 필요하게 하지만, 먼저 완전설계에서 무엇이 분리되는지 알아야 절약의 대가를 이해할 수 있습니다.
In-Silico Lab: 손계산과 회귀계수를 맞춥니다
Lab은 Y=70+8A+5B+γAB의 네 꼭짓점을 모두 만듭니다.
- A effect=16, B effect=10이 되는지 확인합니다.
- γ=6이면 AB effect=12, 회귀계수=6인 이유를 봅니다.
- 각 열의 +/− 합과 열 사이 곱합을 계산해 균형·직교성을 확인합니다.
- 네 반응 중 하나를 지우면 어떤 문제가 생길지 생각합니다.
2² 설계표에서 효과를 직접 복원하세요
네 조합의 반응으로 A·B·AB 효과와 ±1 coded 회귀계수를 비교합니다.
같은 설정의 합성 관측
| run | A | B | AB | Y |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -1 | -1 | 1 | 63.0 |
| 2 | -1 | 1 | -1 | 61.0 |
| 3 | 1 | -1 | -1 | 67.0 |
| 4 | 1 | 1 | 1 | 89.0 |
계산 결과
효과의 부호는 high−low와 반응의 좋은 방향을 함께 적어야 해석할 수 있습니다.
교육용 synthetic model · bjs-factorial-sequence-v1. 실제 연구 판단에는 실험단위, 결측, 분포, 다중성, 사전계획과 도메인 기준을 별도로 반영해야 합니다.
JMP 출력은 설계표와 효과 그림을 연결합니다
−1/+1 조합, 균형과 실행 수를 확인합니다.
고수준 평균과 저수준 평균의 차이를 효과로 읽습니다.
꼭짓점 반응과 비평행성을 공간에서 확인합니다.
Design Table의 coded level과 실제 단위를 혼동하지 마십시오. Effect Estimates는 방향을 coding convention에 따라 표시합니다. Cube Plot과 Interaction Plot은 원자료를 압축한 평균 표현이므로 복제점 산포와 잔차를 함께 확인합니다.
결과 문장 예시
온도(A: 30/37°C)와 pH(B: 6.8/7.4)의 2² 완전요인설계를 독립 batch 2회 복제했다. high−low 기준 온도 효과는 +16.2, pH 효과는 +9.8, AB 교호작용 효과는 +11.5 units였다. 양의 AB는 고온에서 pH 효과가 더 컸음을 뜻했다. coded 식과 자연단위 식, 실행순서 및 잔차 진단을 함께 보관했다.
단원을 마치며
- 완전요인설계는 모든 수준 조합을 포함한다.
- ±1 coding은 균형과 직교 구조를 명확히 한다.
- 주효과는 다른 요인에 걸쳐 평균낸 high−low 차이다.
- coded 회귀계수는 2수준 factorial effect의 절반이다.
- interaction이 크면 조건별 효과를 해석한다.
- 복제 없는 포화설계에는 잔차 자유도가 없다.
다음 단원에서는 같은 네 조합을 실행해도 왜 순서·복제·block에 따라 증거의 품질이 달라지는지 다룹니다.
공식 보충 자료
이 글의 설계와 Lab은 교육용 합성 자료입니다.