2수준 요인실험은 low와 high의 꼭짓점을 효율적으로 비교합니다. 그러나 실제 반응이 가운데에서 솟거나 꺼진다면 꼭짓점만으로 적합한 평면은 그 휘어짐을 볼 수 없습니다.
이번 단원의 질문은 하나입니다.
직선 또는 평면 모형이 충분하지 않다는 신호를 어떻게 찾는가?
중심점은 모든 요인을 coded 0에 둡니다
두 요인 A와 B를 −1과 +1로 실험했다면 중심점은 (A, B)=(0, 0)입니다. 이는 단순히 네 꼭짓점 중간값을 계산한 것이 아니라, 실제 요인들을 각 범위의 중앙 조건에 놓고 수행한 별도 run입니다.
2수준 평면모형이 맞다면 중심의 평균 반응은 꼭짓점들이 예측하는 중앙값과 크게 다르지 않아야 합니다. 반복 중심점 평균이 체계적으로 떨어지면 평균 곡률의 신호가 됩니다.
곡률 contrast와 순수오차는 다른 숫자입니다
교육용 합성함수를 다음처럼 둡니다.
Y = 70 + 4A + 3B − 4(A² + B²)
noise가 없을 때 네 꼭짓점 평균은 62이고 중심점 평균은 70입니다. 따라서 center mean − corner mean = 8입니다. 이 차이는 직선 평면이 가운데를 놓치고 있음을 보여줍니다.
중심점을 5회 독립 반복하고 값이 조금씩 다르면, 같은 조건 안의 변동으로 pure error를 추정할 수 있습니다. 곡률 contrast는 위치의 체계적 차이이고, pure error는 동일 조건의 흔들림입니다.
| 수량 | 비교하는 것 | 알려주는 질문 |
|---|---|---|
| 중심점 평균 | coded 0의 반복 평균 | 가운데 반응은 얼마인가? |
| 꼭짓점 평균 | 2수준 설계의 평균 예측 | 직선모형의 중앙 예측은 얼마인가? |
| curvature contrast | 중심점 평균 − 꼭짓점 평균 | 평균적인 휘어짐 신호가 있는가? |
| pure error | 동일 중심점 반복의 산포 | 같은 조건에서도 얼마나 흔들리는가? |
Lack of fit은 pure error를 기준으로 남은 오차를 봅니다
잔차제곱합은 반복점 안의 순수오차와 모형이 놓친 구조로 나눌 수 있습니다.
SS_error = SS_pure error + SS_lack of fit
반복한 동일 조건이 없으면 이 둘을 자료만으로 분리하기 어렵습니다. 중심점 한 번은 가운데 위치를 추가하지만 pure error 자유도를 만들지 못합니다. 독립 반복이어야 하며 같은 시료를 다시 읽은 기술반복을 실험오차처럼 세면 안 됩니다.
중심점이 꼭짓점 평면에서 벗어나도 원인이 A²인지 B²인지 A×B인지 구분되지 않습니다. 중심점은 곡률 가능성을 알리는 진단점이며, 개별 2차항과 최적점을 추정하려면 U23의 축점·3수준 구조가 필요합니다.
Actual by Predicted에서 가운데 점을 따로 봅니다
직선모형이 적절한 합성 반응에서는 중심점들이 Actual by Predicted의 대각선 부근에 놓입니다. 곡률이 있는 반응에서는 반복 중심점이 대각선의 같은 쪽으로 모여 떨어질 수 있습니다. 높은 R²가 있어도 그 체계적 이탈은 사라지지 않습니다.
잔차그림에서는 다음을 구분합니다.
- 중심점만 같은 방향으로 떨어지는가?
- 꼭짓점에도 곡선 패턴이 남는가?
- 실행 순서에 따라 drift가 있는가?
- 반복점 산포가 특정 조건에서 더 큰가?
곡률 신호를 발견했다면 같은 2수준 모형에 항을 임의로 더하기보다 측정 위치를 보강합니다.
In-Silico Lab: 곡률과 pure error를 따로 움직입니다
- 곡률 계수를 0으로 두고 center−corner contrast를 봅니다.
- noise를 0으로 두고 곡률만 키워 contrast가 어떻게 변하는지 확인합니다.
- 곡률을 고정하고 noise를 키워 중심점 SD와 contrast를 구분합니다.
- 중심점 반복을 1로 줄였을 때 pure error 추정이 왜 약해지는지 설명합니다.
꼭짓점 평균과 반복 중심점을 비교하세요
같은 coded 범위에서 곡률·noise·중심점 반복 수를 바꾸며 center−corner contrast와 pure error가 어떻게 달라지는지 봅니다.
처음이라면: 무엇을 눌러야 하나요?
- 1. 질문을 먼저 읽기Lab 제목에서 이번에 비교할 한 가지를 확인합니다.
- 2. 조건 하나만 바꾸기처음에는 n, 효과, 산포 같은 입력 중 하나만 바꾸십시오.
- 3. 새 합성 표본 누르기새 합성 데이터가 만들어집니다. 같은 조건도 표본에 따라 달라질 수 있습니다.
- 4. 그림과 계산 결과 비교하기바꾸기 전후 무엇이 움직이고 무엇이 그대로인지 한 문장으로 적어보십시오.
막히면 초기화로 돌아가 기본 결과를 본 뒤 조건 하나만 바꾸십시오. 이 Lab은 정답 판정기가 아니라 패턴 관찰 도구입니다.
같은 설정의 합성 관측
계산 결과
큰 contrast는 직선모형을 의심하게 하지만 어느 요인의 x²가 원인인지는 알려주지 않습니다. 중심점은 RSM을 설계할 신호입니다.
교육용 synthetic model · bjs-screening-sequence-v1. 한 행은 별도 표시가 없는 한 하나의 독립 simulation 또는 설계 run입니다. 실제 연구·품질·규제 판단에는 사용할 수 없습니다.
Lab의 꼭짓점 네 행과 중심점 반복행은 합성 독립 run입니다. 같은 seed·version·입력은 같은 값을 내며, 실제 실험에서는 실행순서·block·실험단위가 추가로 필요합니다.
JMP 출력에서 한 표만 고르지 않습니다
반복점 순수오차와 모형 불일치가 분리되어 있는지 봅니다.
중심점이 직선 예측에서 체계적으로 떨어지는지 확인합니다.
휘어진 패턴을 후속 RSM 질문으로 연결합니다.
Lack of Fit 표는 pure error 자유도와 함께 읽습니다. Actual by Predicted는 중심점 군집의 방향을 보여주고, residual은 예측값·순서·요인별 패턴을 확인합니다. Surface나 Profiler의 휘어짐은 현재 모형에서 나온 표현이지 원인 규명 자체가 아닙니다.
중심점 다음의 선택
- 곡률 신호가 작고 잔차가 무작위라면 현재 범위의 1차모형을 제한적으로 사용할 수 있습니다.
- 곡률 신호가 크다면 CCD의 axial point 또는 Box-Behnken처럼 2차항을 추정할 설계로 이동합니다.
- pure error가 크다면 공정·측정·block 원인을 먼저 줄이지 않고 최적점을 좇지 않습니다.
- 중심점과 꼭짓점의 분산이 크게 다르면 등분산 가정과 변환·모형 구조를 점검합니다.
결과 문장 예시
네 꼭짓점과 독립 중심점 5회를 비교했다. 중심점 평균은 2수준 평면의 중앙 예측보다 3.1 단위 높았고, 중심점 반복 SD는 0.42였다. 이 결과는 현재 범위에서 평균 곡률 가능성을 지지하지만 개별 2차항을 식별하지 못하므로 반응표면 후속설계를 계획했다.
단원을 마치며
- 중심점은 모든 요인을 범위 중앙에 둔 실제 run이다.
- center−corner 차이는 평균 곡률의 신호다.
- 반복 중심점은 pure error를 추정할 수 있게 한다.
- lack of fit은 pure error를 넘어 남은 모형 불일치를 본다.
- 중심점만으로 개별 2차항이나 최적점을 정할 수 없다.
다음 단원에서는 곡률을 발견한 뒤 CCD와 Box-Behnken이 어디에 새 측정점을 놓는지 봅니다.
공식 보충 자료
이 글과 Lab은 교육용 합성 자료이며 실제 연구·공정·품질·규제 판단의 증거가 아닙니다.