요인 7개를 두 수준으로 모두 조합하면 128 run입니다. 자원이 부족하다고 임의로 16줄만 고르면 균형과 효과 분리가 무너질 수 있습니다. 부분요인설계는 무작위 생략이 아니라, 어떤 효과를 서로 합쳐 볼지 알고 선택하는 구조적 절약입니다.
이번 단원의 질문은 하나입니다.
실행 수를 줄이면 어떤 효과가 데이터에서 구분 불가능해지는가?
2³의 절반을 구조적으로 고릅니다
A와 B의 네 조합을 모두 만들고 C=AB로 정하면 4-run 2^(3−1) half fraction이 됩니다. 이 generator를 양변에 C로 곱하면 I=ABC라는 defining relation을 얻습니다.
설계표에서 C 열과 AB 열은 완전히 같습니다. 따라서 관측 반응이 그 열과 함께 움직여도 원인이 C 주효과인지 AB 교호작용인지 구분할 수 없습니다. 같은 방식으로 alias chain은 다음과 같습니다.
- I = ABC
- A = BC
- B = AC
- C = AB
“A 효과 추정”이라고 표시된 숫자는 실제로 A와 BC가 합쳐진 contrast입니다. BC가 0에 가깝다는 가정이 있어야 A로 주로 해석할 수 있습니다.
alias는 상관이 높다는 것보다 더 강한 동일성입니다
완전 alias에서는 두 model column이 같거나 부호만 반대여서 같은 데이터로 별도 계수를 추정할 수 없습니다. 더 일반적인 비정규·optimal 설계에서는 완전 동일하지 않아도 추정량끼리 상관돼 정밀도가 낮아질 수 있습니다.
소프트웨어가 계수 하나를 출력했다고 모든 후보 효과가 추정된 것은 아닙니다. alias matrix, estimability와 correlation of estimates를 설계 실행 전에 확인해야 합니다.
경제성은 effect sparsity와 고차 교호작용이 작다는 가정에서 옵니다. 실제로 alias된 교호작용이 크면 주효과에 잘못 귀속됩니다. 중요한 상호작용 후보가 있으면 generator 배치, 더 높은 resolution, foldover 또는 후속실험으로 분리해야 합니다.
resolution은 가장 심한 alias 차수를 요약합니다
defining relation에서 identity를 제외한 가장 짧은 word 길이가 resolution입니다.
- Resolution III: 주효과가 2요인 교호작용과 alias
- Resolution IV: 주효과는 2요인 교호작용과 분리되지만 2요인끼리 alias
- Resolution V: 주효과와 2요인 교호작용이 서로 분리되고, 2요인은 3요인과 alias
높은 resolution은 일반적으로 더 많은 run을 요구합니다. 숫자만 높다고 항상 최선은 아닙니다. 목적이 많은 요인의 빠른 screening인지, 특정 interaction 추정인지에 따라 필요한 구조가 다릅니다.
완전요인설계는 effect alias 관점에서 resolution infinity라 부르기도 합니다. block을 만들 때는 높은 차수 interaction과 block effect를 confound할 수 있으므로 U18의 block 대가도 alias 언어로 연결됩니다.
fraction 선택에는 숨은 가정이 있습니다
부분요인설계의 실용성은 흔히 다음 원칙에 기대지만 법칙은 아닙니다.
- sparsity: 많은 후보 효과 중 실제로 큰 것은 소수
- hierarchy: 고차 interaction이 중요하면 관련 하위항도 고려
- heredity: interaction은 관련 주효과와 함께 나타나는 경향
주효과가 작아도 crossover interaction은 클 수 있으므로 heredity를 맹신하지 않습니다. 기전상 중요한 조합은 설계에서 clear하게 배치합니다.
In-Silico Lab: 같은 열을 직접 확인합니다
- 네 run에서 C와 AB 열이 모든 행에서 같은지 봅니다.
- 각 alias chain을 defining relation에 A, B, C를 곱해 유도합니다.
- A contrast가 8이라면 A=8인지 A+BC=8인지 답합니다.
- 여덟 run 완전설계로 확장하면 어떤 열이 분리되는지 생각합니다.
4-run 반분할의 alias를 직접 읽으세요
2³ 완전설계의 절반에서 C=AB를 generator로 선택하면 어떤 열들이 완전히 같아지는지 확인합니다.
같은 설정의 합성 관측
| run | A | B | C=AB | ABC |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -1 | -1 | 1 | 1 |
| 2 | -1 | 1 | -1 | 1 |
| 3 | 1 | -1 | -1 | 1 |
| 4 | 1 | 1 | 1 | 1 |
계산 결과
I = ABCA = BCB = ACC = ABA 추정값이 커도 원인이 A인지 BC인지 이 네 run만으로 분리할 수 없습니다. 작은 고차 교호작용이라는 가정이 절약의 가격입니다.
교육용 synthetic model · bjs-factorial-sequence-v1. 실제 연구 판단에는 실험단위, 결측, 분포, 다중성, 사전계획과 도메인 기준을 별도로 반영해야 합니다.
JMP Design Evaluation을 실행 전에 읽습니다
각 효과 추정에 섞이는 다른 효과를 명시합니다.
resolution과 추정 가능성을 실행 전에 확인합니다.
0이 아닌 상관은 효과 분리가 약해졌다는 신호입니다.
Alias Table은 결과 해석 뒤의 부록이 아니라 설계 선택 전 Gate입니다. 예상 active interaction이 주효과와 alias되면 fraction 또는 factor assignment를 바꿉니다. 설계 생성 메뉴를 따라가기보다 후보모형이 estimable한지 확인하는 것이 핵심입니다.
부분요인설계는 순차실험의 첫 파동입니다
screening fraction으로 유력 요인을 찾았다면 같은 데이터에서 최종 최적점을 확정하지 않습니다. 다음 단계는 상황에 따라:
- 반대 fraction을 추가하는 foldover
- alias를 끊는 선택적 run 추가
- 중요 요인만 남긴 완전요인설계
- 중심점을 통한 곡률 점검
- 반응표면설계로 범위 확장
첫 파동의 null/active 판정에 모든 결정을 걸지 말고 후속실험으로 모호한 alias를 해소합니다.
결과 문장 예시
5개 요인의 2^(5−1) Resolution V half fraction을 사용했다. 사전 후보모형의 모든 주효과와 2요인 교호작용은 서로 clear했으며 각 2요인항은 3요인 이상과 alias됐다. 분석에서 A와 AB가 유력했으나 sparsity 가정에 의존하므로 독립 confirmation 및 선택 run으로 구조를 확인하도록 계획했다.
Resolution III screening이라면 “A 효과” 대신 “A+BC alias contrast”처럼 정직하게 씁니다.
단원을 마치며
- fraction은 완전설계의 구조적 일부다.
- generator에서 defining relation과 alias chain이 나온다.
- alias된 효과는 같은 데이터로 분리 추정할 수 없다.
- resolution은 가장 심한 효과 혼동 차수를 요약한다.
- sparsity·hierarchy·heredity는 유용한 가정이지 보장된 법칙이 아니다.
- 부분요인 결과는 후속실험으로 alias를 해소해야 한다.
이 연속 집필은 요청한 자동 정지선 U20에서 멈춥니다. 다음 학습 단위 후보는 screening 후속실험, 중심점과 곡률이지만 별도 재개 전에는 작성하지 않습니다.
공식 보충 자료
- NIST/SEMATECH · Constructing a 2^(3−1) design
- NIST/SEMATECH · Confounding and aliasing
- NIST/SEMATECH · Design resolution
이 글의 설계와 Lab은 교육용 합성 자료입니다.