설계표에 반응값을 채웠다고 끝이 아닙니다. 효과를 계산하고 모형식으로 표현하며, 잔차가 후보 모형을 지지하는지 확인한 뒤에야 조건 탐색으로 이동할 수 있습니다.

효과와 회귀계수는 같은 정보를 다른 척도로 씁니다

2² 설계의 coded 모형은 ŷ=b₀+bAA+bBB+bABAB입니다. effect는 high 평균−low 평균이고 ±1 coded coefficient는 effect/2입니다. b₀는 균형 설계에서 전체 평균입니다.

ANOVA는 모형이 설명한 SS와 잔차 SS를 나눕니다. 복제가 있으면 잔차를 pure error와 lack of fit으로 더 나눌 수 있습니다. 각 effect p-value만 훑기 전에 전체 candidate model, 자유도와 잔차 정보량을 확인합니다.

모형계층은 해석 가능한 좌표계를 지킵니다

AB interaction을 포함하면 A와 B 주효과도 함께 둡니다. A²를 포함하면 A도 둡니다. 이것이 hierarchy 원칙입니다. 하위항 p-value가 크다는 이유로 빼면 변수 coding 원점을 바꿀 때 모형 의미가 달라지고 interaction 해석이 무너집니다.

작은 DOE에서 모든 항을 적합하면 잔차 자유도가 거의 없습니다. 효과 plot, 사전 sparsity 가정과 과학적 지식을 사용할 수 있지만 자동 stepwise와 p-value 기준만으로 항을 반복 삭제하면 선택 편향이 생깁니다. pooling한 항은 “효과가 정확히 0”이 아니라 오차 추정에 합쳤다는 모델링 판단입니다.

coded 식과 natural-unit 식은 역할이 다릅니다

coded unit −1/+1은 효과 비교와 직교 구조를 명확히 합니다. 실제 °C, pH, rpm으로 되돌린 natural-unit 식은 현장 해석과 조건 전달에 필요합니다.

low X_L, high X_H일 때 coded x는 (X−center)/half-range입니다. 자연단위로 바꾸면 계수의 숫자와 단위가 달라지지만 같은 범위 안에서 같은 예측을 해야 합니다. 변환식, 단위와 유효 범위를 함께 보관합니다.

Profiler는 적합 모형의 단면을 움직입니다

Prediction Profiler는 한 요인을 움직일 때 다른 요인을 현재 값에 고정한 예측을 보여줍니다. interaction이 있으면 A의 기울기가 B 설정에 따라 변하므로 panel들이 독립적이지 않습니다. contour는 두 요인의 조합을 한 번에 보여줍니다.

desirability는 “최대화·목표·범위”를 0–1 함수로 바꾸고 여러 반응을 합칠 수 있습니다. 최대 desirability는 입력한 목표의 최적점이지 생물학적 중요성이나 제조 견고성을 자동 정의하지 않습니다. 함수 모양과 가중치를 바꾸면 후보도 바뀝니다.

In-Silico Lab: effect를 식으로 바꾸고 좌표를 움직입니다

1. AB=0과 AB=6에서 A profiler의 B 의존성을 비교합니다.
2. A, B를 −1부터 +1까지 움직여 현재 예측을 읽습니다.
3. 설계범위 밖 값을 선택하지 못하게 한 이유를 설명합니다.
4. coded 계수를 natural unit으로 바꾸려면 어떤 범위 정보가 필요한지 적습니다.

JMP 분석은 출력 순서가 아니라 판단 순서로 읽습니다

권장 판단 흐름은 다음입니다.

1. 실제 실행과 결측·이탈 확인
2. effect 방향과 interaction 그림
3. candidate model과 hierarchy
4. ANOVA와 effect uncertainty
5. 잔차·영향·run order 진단
6. coded/natural 식 일치
7. Profiler·contour로 후보 탐색
8. 확인실험과 예측오차 기록

최적조건은 다음 실험의 후보입니다

모형은 유한한 설계점과 오차에서 추정됐습니다. 예측 최대점에서 독립 confirmation run을 수행하고 예측값·CI 또는 PI와 실제값을 비교합니다. 경계 최적점은 더 넓은 범위가 좋다는 신호일 수도 있지만 안전·물리 범위 밖으로 자동 확장하지 않습니다.

결과 문장 예시

사전 후보모형 A+B+AB를 계층적으로 적합했다. coded 계수는 70+8A+5B+6AB였고 잔차-run order에 시간 추세는 보이지 않았다. Profiler에서 A=+1, B=+1이 최대 예측 조건이었으나 설계 경계이므로 최종 최적으로 단정하지 않았다. 독립 confirmation batch에서 예측오차를 확인하도록 후속실험을 계획했다.

단원을 마치며

• factorial effect와 ±1 coded coefficient는 2배 관계다.
• interaction·제곱항을 두면 관련 하위항을 유지한다.
• pooling과 자동 항삭제는 모델링 판단을 요구한다.
• 잔차와 run order가 effect table보다 뒤처져서는 안 된다.
• natural-unit 식에는 단위와 유효 범위를 붙인다.
• Profiler 최적점은 confirmation이 필요한 후보다.

다음 단원은 U20입니다. 완전설계의 실행을 줄이는 순간 어떤 효과가 alias되어 구분 불가능해지는지 살펴보고 자동으로 멈춥니다.

공식 보충 자료

• NIST/SEMATECH · How to model DOE data
• NIST/SEMATECH · Check of assumptions

이 글의 모형과 Lab은 교육용 합성 자료입니다.