CCD 표에 반응값을 채우고 full quadratic를 적합했습니다. R²가 0.98이면 이제 최적조건을 찾아도 될까요? 높은 설명비율은 출발점일 뿐, 빠진 곡률·실행순서·외삽·선택과정을 검사하지 않습니다.
이번 단원의 질문은 하나입니다.
2차식이 데이터를 목적에 맞게 설명한다고 어떻게 판단하는가?
먼저 후보모형을 설계와 묶습니다
2요인 full quadratic는 여섯 항입니다.
ŷ = β₀ + β₁x + β₂y + β₁₁x² + β₂₂y² + β₁₂xy
항 목록은 결과를 본 뒤 가장 좋은 p-value 조합으로 발명하지 않습니다. 설계 목적과 과학적 질문에서 사전 지정하고, 설계가 그 항들을 추정할 수 있는지 확인합니다. 반응값을 붙인 행이 원래 설계행과 어긋나지 않았는지도 가장 먼저 점검합니다.
Quadratic hierarchy를 지킵니다
x²을 모형에 남기면 x도 함께 두고, xy를 남기면 x와 y 주효과를 함께 둡니다. 낮은 차수 항의 p-value가 크다는 이유만으로 삭제하면 좌표 원점과 coding에 따라 고차항 의미가 달라질 수 있습니다.
같은 자료에 세 후보모형을 비교합니다
합성 응답을 다음처럼 만들었다고 합시다.
Y = 82 + 5x − 3y − 6x² − 4.2y² + 3xy + error
| 후보모형 | 포함항 | 예상되는 문제 |
|---|---|---|
| linear | 1, x, y | 곡률과 xy가 잔차에 남음 |
| quadratic without interaction | 1, x, y, x², y² | xy 구조가 남을 수 있음 |
| full quadratic | 여섯 항 전체 | 현재 생성식에는 맞지만 실제 자료에서는 과적합·범위를 점검 |
noise가 0인 teaching fixture에서 full quadratic는 원계수를 복원합니다. 그러나 실제 자료에서는 계수 추정치마다 SE와 CI가 있고, 설계영역의 정보량이 균일하지 않습니다.
ANOVA는 변동을 나누지만 모형을 자동 승인하지 않습니다
ANOVA의 Model F와 p-value는 “이 후보모형이 절편만 있는 모형보다 신호를 설명하는가”를 봅니다. 각 Parameter Estimate는 다른 항을 고정한 coded 효과를 나타냅니다. 다음 질문이 별도로 남습니다.
- 항을 데이터에 맞춰 고른 선택편향이 있는가?
- 반복점으로 pure error를 추정했는가?
- 블록·실행순서·측정 batch가 모형에 반영됐는가?
- 잔차의 분산과 모양이 조건에 따라 달라지는가?
- 예측하려는 위치가 실제 설계영역 안인가?
R²와 adjusted R²는 설명비율을 요약하지만 이 질문들의 답이 아닙니다.
Lack of fit과 residual은 서로 다른 경고를 줍니다
반복 조건이 있으면 residual SS를 pure error와 lack-of-fit SS로 나눌 수 있습니다. LOF가 pure error보다 크다면 현재 모형이 반복 변동을 넘어 구조를 놓쳤을 가능성이 있습니다. 반대로 LOF p-value가 크다고 모형이 참이라고 증명되지는 않습니다. 작은 표본에서는 검출력이 낮을 수 있습니다.
잔차그림에서는 다음을 찾습니다.
- 예측값에 따라 U자 또는 S자 모양이 남는가?
- 반응이 커질수록 산포가 부채꼴로 넓어지는가?
- run order를 따라 drift가 있는가?
- 한 점이 모형을 과도하게 당기는가?
가장 큰 p-value부터 반복 삭제하면 최종 p-value와 예측 불확실성이 선택과정을 반영하지 못합니다. 사전모형·hierarchy·도메인 중요성을 유지하고, 축소모형은 full model과 민감도 비교 및 새 확인자료로 검토하십시오.
Actual by Predicted는 동일성 대각선을 읽습니다
점들이 대각선에 가깝다는 것은 관측과 적합 예측이 가깝다는 뜻입니다. 하지만 설계점에서 잘 맞는 것과 새 조건을 잘 예측하는 것은 다릅니다. 반복 중심점이 같은 방향으로 떨어지거나 경계점만 크게 빗나가면 구조를 따로 봅니다.
In-Silico Lab: 누락항을 잔차로 되돌려 보냅니다
- full quadratic에서 계수 수, R², RMSE와 LOF SS를 봅니다.
- linear로 바꾸고 곡률을 키워 residual과 SSE가 어떻게 변하는지 확인합니다.
quadratic-no-interaction에서 참 xy 계수를 키웁니다.- noise와 seed를 바꿔 작은 표본 진단이 얼마나 흔들리는지 봅니다.
후보모형을 바꾸고 잔차가 남기는 구조를 보세요
같은 CCD 합성자료에 linear, 제곱항 모형, full quadratic를 적합해 SSE·LOF·잔차를 비교합니다.
처음이라면: 무엇을 눌러야 하나요?
- 1. 질문을 먼저 읽기Lab 제목에서 이번에 비교할 한 가지를 확인합니다.
- 2. 조건 하나만 바꾸기처음에는 n, 효과, 산포 같은 입력 중 하나만 바꾸십시오.
- 3. 새 합성 표본 누르기새 합성 데이터가 만들어집니다. 같은 조건도 표본에 따라 달라질 수 있습니다.
- 4. 그림과 계산 결과 비교하기바꾸기 전후 무엇이 움직이고 무엇이 그대로인지 한 문장으로 적어보십시오.
막히면 초기화로 돌아가 기본 결과를 본 뒤 조건 하나만 바꾸십시오. 이 Lab은 정답 판정기가 아니라 패턴 관찰 도구입니다.
같은 설정의 합성 관측
계산 결과
R²가 높아도 잔차의 곡선·순서 패턴과 lack of fit을 확인합니다. 반복점이 없으면 pure error와 LOF를 분리할 수 없습니다.
교육용 synthetic model · bjs-response-surface-sequence-v1. 한 행은 별도 표시가 없는 한 하나의 독립 simulation 또는 설계 run입니다. 실제 연구·품질·규제 판단에는 사용할 수 없습니다.
Lab의 13행은 CCF 좌표 8개와 중심점 5개의 합성 run입니다. 모형 fitting은 최소제곱으로 계산하며, 메뉴 사용법이나 실제 JMP 수치의 대체물이 아닙니다.
JMP 출력은 한 묶음으로 읽습니다
사전 2차모형의 항과 전체 불확실성을 함께 봅니다.
반복점 pure error를 기준으로 남은 구조를 점검합니다.
곡률 누락·이분산·순서·이상점을 한 화면에 압축하지 않습니다.
ANOVA와 Parameter Estimates는 신호와 계수를, Lack of Fit은 반복점 대비 불일치를, Residual과 Actual by Predicted는 모양을 보여줍니다. 어느 하나도 단독 Gate가 아닙니다. 모형 변경을 했다면 최초 모형, 변경 이유와 전후 진단을 receipt에 남깁니다.
결과 문장 예시
사전 지정한 full quadratic 모형을 13-run CCF 자료에 적합했다. hierarchy를 유지했으며 반복 중심점으로 pure error를 추정했다. Actual by Predicted와 residual-by-predicted에서 뚜렷한 곡률·부채꼴 패턴은 없었고 LOF는 현재 표본에서 뚜렷하지 않았다. 이는 연구범위 안의 후보모형 적합성을 지지하지만 새 조건의 확인실험을 대신하지 않는다.
단원을 마치며
- 2차모형은 설계와 사전 질문에 연결한다.
- quadratic hierarchy를 지킨다.
- R²·p-value·LOF 어느 하나도 단독 승인 기준이 아니다.
- residual은 곡률·이분산·순서·영향점을 찾는 지도다.
- 축소·선택과정과 확인자료를 기록한다.
다음 단원에서는 진단을 통과한 후보모형을 contour·Profiler·desirability로 읽고 확인실험으로 이어갑니다.
공식 보충 자료
- NIST/SEMATECH · Assessing the Model
- NIST/SEMATECH · Response Surface Model Example
- JMP Help · Fitting Linear Models
이 글과 Lab은 교육용 합성 자료이며 실제 연구·공정·품질·규제 판단의 증거가 아닙니다.