CCD 축점 하나가 장비 범위를 넘고, 두 요인의 high-high 조합은 안전하지 않습니다. 표준설계의 점을 억지로 실행하거나 임의로 지우면 2차모형의 정보구조가 무너질 수 있습니다.
이번 단원의 질문은 하나입니다.
표준설계를 실행할 수 없을 때 어떤 점을 골라야 하는가?
Candidate set은 가능한 실험의 경계입니다
Custom Design은 먼저 실제로 실행 가능한 조건의 집합을 만듭니다. 연속 범위를 촘촘한 후보 grid로 만들 수도 있고, 제조 가능한 recipe 목록처럼 이산 후보를 쓸 수도 있습니다.
후보를 만들 때 다음을 먼저 반영합니다.
- 장비의 물리적 최소·최대
- 안전·안정성상 금지된 조합
- 총량·조성 합계 같은 수학적 제약
- 이미 사용한 run 또는 반드시 포함할 control
- hard-to-change 요인과 block 구조
후보에서 빠진 영역은 최적화가 평가하지 못합니다. 반대로 실행 불가능한 점을 후보에 넣으면 수학적으로 좋은 설계가 현실에서는 실패합니다.
모형을 먼저 정해야 정보의 의미가 생깁니다
같은 candidate set에서도 main-effect 모형과 full quadratic 모형이 요구하는 점은 다릅니다. 설계 알고리즘은 지정한 model matrix X에서 정보를 평가합니다.
Information = XᵀX
모형항이 열이고 run이 행입니다. 어떤 열이 다른 열의 조합이면 그 계수를 분리해 추정할 수 없습니다. 이것이 estimability 문제입니다. run 수가 항 수보다 많아도 잘못 배치하면 rank가 부족할 수 있습니다.
D-optimal과 I-optimal은 목적이 다릅니다
D-optimal
det(XᵀX)를 크게 하는 방향으로 계수들의 공동 신뢰영역 부피를 줄입니다. 지정한 모형 계수의 전반적 추정 정밀도가 목적일 때 자연스럽습니다.
I-optimal
후보영역 전체에서 평균 prediction variance를 줄이는 방향으로 점을 배치합니다. 영역 안의 예측이 목적일 때 유용합니다.
두 기준은 같은 질문의 순위표가 아닙니다. D가 높다고 모든 위치의 예측분산이 낮은 것도 아니고, I가 낮다고 특정 계수의 검정력이 충분한 것도 아닙니다.
| 결정 | D 기준이 묻는 것 | I 기준이 묻는 것 |
|---|---|---|
| primary objective | 계수들을 함께 얼마나 정밀하게 추정하는가? | 후보영역을 평균적으로 얼마나 정밀하게 예측하는가? |
| 점 배치 경향 | 모형열을 분리하는 극단·구조점 | 예측영역 coverage를 고르게 하는 점 |
| 추가 확인 | power·alias·prediction variance profile | 최대분산 위치·계수 정밀도·power |
candidate set, 사전 모형, run 수, block과 optimality criterion 중 하나라도 바뀌면 다른 설계가 나올 수 있습니다. 여러 random start와 Design Diagnostics를 확인하고 알고리즘 이름을 과학적 우월성으로 해석하지 마십시오.
Run 수는 최소보다 여유가 필요합니다
2요인 full quadratic는 6개 계수를 가집니다. 6 run으로 rank 6을 만들 수 있어도 residual 자유도, pure error와 lack of fit을 평가할 여유가 거의 없습니다. 독립 반복·중심점·block·결측 가능성을 고려해 run 수를 계획합니다.
Power는 예상 effect와 noise 가정에 의존합니다. 모든 항의 power를 동일 목표로 강제하면 run 수가 커질 수 있으므로 primary term과 nuisance term을 구분합니다.
Prediction Variance Profile은 평균 밖을 보여줍니다
I-optimal의 평균 prediction variance 하나만 보고 끝내지 않습니다. 후보영역에서 어디가 높고 낮은지 profile 또는 map으로 봅니다. 중요한 operating region의 경계가 약하다면 그 위치를 보강할 수 있습니다.
Design Evaluation에는 최소한 다음을 함께 둡니다.
- model rank와 estimability
- correlation of estimates 또는 alias 구조
- relative/absolute prediction variance의 위치별 모양
- primary effects의 예상 power
- 여러 시작값에서 설계 품질의 안정성
In-Silico Lab: 제약과 목적을 바꿉니다
no-high-high에서 우상단 후보가 사라지는지 봅니다.- D와 I를 바꾸며 선택점과 평균 prediction variance를 비교합니다.
- run 수를 8·10·12로 바꿔 6항 모형 rank를 확인합니다.
- ellipse 제약에서 표준 cube corner를 쓸 수 없는 이유를 설명합니다.
실행 가능한 후보에서 목적별 설계를 비교하세요
표준설계가 들어가지 않는 영역에서 제약·run 수·D/I 기준을 바꾸며 추정가능성과 평균 예측분산을 확인합니다.
처음이라면: 무엇을 눌러야 하나요?
- 1. 질문을 먼저 읽기Lab 제목에서 이번에 비교할 한 가지를 확인합니다.
- 2. 조건 하나만 바꾸기처음에는 n, 효과, 산포 같은 입력 중 하나만 바꾸십시오.
- 3. 새 합성 표본 누르기새 합성 데이터가 만들어집니다. 같은 조건도 표본에 따라 달라질 수 있습니다.
- 4. 그림과 계산 결과 비교하기바꾸기 전후 무엇이 움직이고 무엇이 그대로인지 한 문장으로 적어보십시오.
막히면 초기화로 돌아가 기본 결과를 본 뒤 조건 하나만 바꾸십시오. 이 Lab은 정답 판정기가 아니라 패턴 관찰 도구입니다.
같은 설정의 합성 관측
계산 결과
Lab 선택기는 deterministic-greedy-teaching-approximation입니다. JMP의 최적화 구현을 재현하거나 보편적 최적성을 보증하지 않으며, 실제 설계는 여러 시작값과 diagnostics를 확인해야 합니다.
교육용 synthetic model · bjs-advanced-design-sequence-v1. 한 행은 별도 표시가 없는 한 하나의 독립 simulation 또는 설계 run입니다. 실제 연구·품질·규제 판단에는 사용할 수 없습니다.
Lab은 0.5 간격 후보에서 한 점씩 고르는 결정론적 greedy teaching approximation입니다. JMP의 Custom Design 알고리즘이나 전역 optimality를 재현하지 않습니다. 목적은 후보·모형·기준의 의존성을 투명하게 보는 것입니다.
JMP Design Evaluation을 설계 receipt로 씁니다
모형·후보점·run 수·optimality 기준의 계약을 확인합니다.
어느 영역의 예측이 약한지 평균 하나 밖의 모양을 봅니다.
estimability·power·상관을 목적별로 검토합니다.
Custom Design 평가에서 factor range, disallowed combination, model terms, number of runs와 criterion이 계획과 같은지 확인합니다. Prediction Variance Profile, estimability, power와 correlation을 실행 전에 보존합니다. 결과자료를 얻은 뒤 모형을 바꿨다면 최초 설계가 어느 항을 위해 만들어졌는지 남깁니다.
결과 문장 예시
high-high 금지조합을 제외한 21개 candidate와 사전 full quadratic 6항을 사용했다. 10 run D-optimal 후보를 여러 시작값에서 평가했으며 모든 항은 estimable했다. operating region의 prediction variance profile과 primary-term power를 함께 검토했다. 이 최적성은 지정 후보·모형·run 수에 한정된다.
단원을 마치며
- candidate set은 실행 가능영역을 정의한다.
- optimal design은 사전 모형이 있어야 평가할 수 있다.
- D와 I는 각각 계수정보와 평균 예측정보를 우선한다.
- 최소 rank만 맞추지 말고 residual·pure error·결측 여유를 둔다.
- optimal은 지정한 후보·모형·run·criterion 안의 성질이다.
다음 단원에서는 많은 연속요인의 screening과 곡률 탐색을 3수준 구조로 잇는 DSD를 봅니다.
공식 보충 자료
- NIST/SEMATECH · Choosing an Experimental Design
- JMP Help · Prediction Variance Profile
- JMP Help · Example of a Custom Design Construction
이 글과 Lab의 설계선택은 교육용 근사이며 실제 연구·공정·품질·규제 판단의 증거가 아닙니다.