충전 공정의 목표량이 10.0 mL인데 12개의 독립 vial 평균이 10.3 mL였습니다. 0.3 mL는 실제 공정 이동일까요, 아니면 작은 표본에서 생긴 흔들림일까요?
이번 단원의 질문은 하나입니다.
한 집단의 모집단 평균이 사전 기준값과 다르다고 말할 근거는 무엇인가?
기준값은 표본을 보기 전에 외부에서 옵니다
one-sample 비교의 기준 μ₀는 현재 표본평균이나 가장 좋아 보이는 숫자가 아닙니다. 공정 목표, 검증된 역사적 기준, 물리적 영점처럼 연구 질문에서 미리 정한 값입니다. 데이터 뒤에 기준을 옮기면 검정이 답하는 질문도 바뀝니다.
귀무가설과 양측 대립가설은 다음처럼 씁니다.
H0: μ=μ₀H1: μ≠μ₀
효과의 추정값은 x̄−μ₀입니다. 단위가 mL이면 효과도 mL입니다. p-value보다 먼저 이 차이가 실질적으로 큰지 정의해야 합니다.
t는 차이를 표준오차에 비춰 봅니다
모집단 SD를 모를 때 표본 SD s로 평균의 표준오차를 추정합니다.
SE(x̄)=s/√n
t=(x̄−μ₀)/(s/√n)
분자는 관측 효과, 분모는 표집변동의 예상 크기입니다. 같은 0.3 mL라도 s가 작거나 독립 n이 크면 더 큰 |t|가 됩니다. s도 같은 표본에서 추정했으므로 기준 분포는 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 t 분포이며 자유도는 n−1입니다.
95% CI x̄ ± t*×SE는 효과가 아니라 평균의 구간입니다. 여기에 μ₀가 들어 있는지 보는 것과 양측 α=.05 t-test는 같은 판단 경계를 공유합니다. 효과 CI로 쓰려면 양 끝에서 μ₀를 빼면 됩니다.
p-value와 CI는 다른 표가 아니라 같은 증거의 두 표현입니다
p-value는 H0와 모형 가정 아래 현재 |t| 이상이 나올 꼬리확률입니다. CI는 데이터와 양립하는 평균 또는 효과의 범위를 보여줍니다. p-value는 임계값 판단에 압축적이고 CI는 방향·크기·불확실성을 드러냅니다.
예를 들어 효과가 0.30 mL, 95% CI가 −0.08–0.68 mL라면 0과 양립하므로 H0를 기각하지 못합니다. 그러나 “공정이 목표와 같다”는 증명은 아닙니다. −0.08부터 +0.68까지의 이동이 모두 자료와 양립하며, +0.68이 실질적으로 허용 가능한지 별도 기준이 필요합니다.
평균이 목표값과 유의하게 다른지와 개별 제품이 규격 안에 드는지는 다른 질문입니다. one-sample 평균 CI는 모집단 평균을 다루며 개별 관측값이나 모집단 대부분의 범위를 보증하지 않습니다.
가정은 ‘정규성 p값 통과’ 한 줄이 아닙니다
one-sample t 절차에서 특히 중요한 것은 관측의 독립성과 평균·SD가 의미 있는 실험단위입니다. 같은 batch에서 20번 기기를 읽은 값은 batch n=20이 아닙니다. 기술반복을 독립 n으로 세면 SE가 부당하게 작아집니다.
정규성은 작은 표본에서 검정력이 낮고 큰 표본에서는 사소한 이탈도 잡힐 수 있습니다. 히스토그램, dot plot, 이상값과 데이터 생성 과정을 함께 보십시오. t 평균 추론은 대칭적이고 극단값이 없는 상황에서 어느 정도 강건할 수 있지만, 강한 왜도·검열·혼합·작은 n이면 변환, 강건 방법이나 명시적 분포모형을 검토해야 합니다.
In-Silico Lab: 기준과 효과의 거리를 반복합니다
Lab은 μ₀=10, 알려진 σ=3인 단순 z 모형을 써서 관계를 투명하게 보여줍니다. 실제 one-sample t에서는 σ를 s로 추정한다는 차이를 기억하십시오.
- 실제 차이 0에서 seed를 바꿔 p-value가 매번 달라지는지 봅니다.
- 효과 1.0에서 n=8과 n=80의 CI 폭을 비교합니다.
- 같은 p-value 근처라도 효과와 CI가 다른 설정을 찾습니다.
- “유의”가 “중요”를 뜻하지 않는 이유를 단위로 설명합니다.
기준값·효과·n을 한 축에 연결하세요
μ₀=10, σ=3인 투명한 교육 모형에서 효과와 독립 n이 CI와 p-value를 어떻게 바꾸는지 봅니다.
같은 설정의 합성 관측
계산 결과
기각 여부보다 효과와 CI가 연구 단위에서 얼마나 큰지 먼저 해석합니다.
교육용 synthetic model · bjs-comparison-sequence-v1. 실제 연구 판단에는 실험단위, 결측, 분포, 다중성, 사전계획과 도메인 기준을 별도로 반영해야 합니다.
JMP 출력에서 한 줄만 떼지 않습니다
기준값, 표본평균, t ratio와 방향별 p값을 연결합니다.
기준값과 양립하는 효과 범위를 먼저 읽습니다.
히스토그램·box plot으로 독립성 밖의 모양 문제를 점검합니다.
Test Mean 결과에는 hypothesized value, actual estimate, t ratio와 양측·단측 p-value가 함께 나타날 수 있습니다. 연구 질문에 맞는 방향을 사전에 선택하고 정확한 p-value를 보고하십시오. 출력에 세 방향이 모두 있다고 가장 작은 값을 택하는 것은 사후 선택입니다.
결과 문장은 여섯 요소를 담습니다
독립 vial 12개의 평균 충전량은 10.30 mL(SD 0.62)였다. 사전 목표 10.00 mL와의 평균 차이는 0.30 mL였고, 양측 95% CI는 −0.09–0.69 mL, one-sample t(11)=1.68, p=.12였다. 이 자료에서는 목표와의 평균 차이를 검출하지 못했으며, 목표와의 동등성이나 개별 vial의 규격 적합을 입증한 것은 아니다.
필요한 요소는 독립 n, 평균과 SD, 기준값, 단위 있는 효과, CI, 검정 방향·통계량·자유도·p-value입니다.
단원을 마치며
- 기준값은 현재 표본 바깥에서 사전에 정한다.
- 효과는
x̄−μ₀, SE는 평균의 표집변동이다. - t는 효과를 추정 SE로 나눈 값이며 자유도는 SD 추정 불확실성을 반영한다.
- CI와 양측 p-value는 같은 모형의 불확실성을 다르게 표현한다.
- 비유의는 기준과 같음이나 동등성의 증명이 아니다.
- 기술반복을 독립 n으로 세지 않는다.
다음 단원에서는 기준값 하나가 아니라 두 집단을 비교합니다. 그때 가장 먼저 구분할 것은 독립과 대응 구조입니다.
공식 보충 자료
이 글의 수치·그림·Lab은 교육용 합성 자료입니다. 실제 판단에는 현장 설계와 도메인 기준을 적용해야 합니다.