The mean response in one sample was 10.2. The 95% confidence interval for the mean is 9.5–10.9. Does that mean the next independent sample will almost certainly fall within this range? And does this interval cover 95% of the population observations?

Neither. The range where the mean might be, the range where a single new observation might appear, and the range that covers most of the population observations are different questions.

In the previous section, we learned that the confidence interval for the mean targets the fixed parameter μ. Here, we set boundaries to prevent extending that interval to all kinds of 'ranges'.

Name the target before the interval name

If you memorize the three intervals only by their abbreviations CI, PI, and TI, it is easy to confuse them when the numbers are similar. Completing the sentence first makes the distinction clear.

• "In what range does the population mean μ lie?" → confidence interval, CI
• "In what range will the next independent observation from the same process fall?" → prediction interval, PI
• "What range covers a specified proportion of population observations?" → tolerance interval, TI

All three questions can use the sample mean x̄ and standard deviation s, but because the target of uncertainty differs, the calculated results also differ.

For typical normal models and confidence levels, the mean CI is narrower than the PI, and the TI, which requires higher coverage, often appears wider. However, you should not memorize only the order of widths. The width can vary depending on the set confidence, coverage, number of future observations, one-sided or two-sided nature, and the model. The target defines the interval, and the width is a consequence.

Confidence intervals express uncertainty about parameters

The 95% CI for the mean targets the population mean μ. It has a long-term inclusion rate such that approximately 95% of intervals constructed using the same procedure from repeated samples will contain μ.

Since this interval indicates the precision of the mean estimate, it tends to become narrower as the independent sample size n increases. However, the natural spread of individual observations does not disappear. Even if the mean CI is very narrow, the next sample value may fall outside it.

El intervalo de predicción incluye la variación hasta la siguiente observación

Al predecir una única muestra independiente, deben considerarse dos fuentes de incertidumbre:

1. La incertidumbre derivada de estimar la media poblacional a partir de una muestra
2. La variación natural con la que los valores individuales de las muestras fluctúan alrededor de la media, incluso si esta se conoce con exactitud

Por lo tanto, el intervalo de predicción (PI) para la siguiente observación calculado con la misma muestra suele ser más amplio que el intervalo de confianza (CI) de la media. En un modelo normal con media desconocida, la estructura típica de un PI bilateral es la siguiente:

x̄ ± t* × s × √(1 + 1/n)

En comparación con el s/√n del CI de la media, el término √(1+1/n) refleja la variación de las observaciones individuales. Aunque un tamaño muestral muy grande (n) haga que la estimación de la media sea precisa, la dispersión de las observaciones individuales persiste, por lo que el PI no se contrae hasta cero.

El "siguiente" en el PI se refiere a una observación independiente obtenida aleatoriamente dentro del mismo proceso y condiciones definidos. Si cambian el equipo, la materia prima, el operador, el donante, las condiciones de cultivo o el rango temporal, los fundamentos para aplicar directamente el PI original se debilitan.

El intervalo de tolerancia apunta a la proporción de la población

El TI no busca abarcar una única media poblacional ni una única observación futura, sino una proporción especificada de los valores observados en la población. Por lo tanto, una descripción completa de un TI requiere dos porcentajes.

Por ejemplo, se dice: "intervalo de tolerancia bilateral que contiene al menos el 95% de la población con un nivel de confianza del 95%".

• coverage p=95%: la proporción de valores observados en una población que el intervalo pretende incluir
• confidence γ=95%: el nivel de confianza a largo plazo del procedimiento para alcanzar el objetivo de cobertura al repetir la muestra y construir el TI

95%/95% TI puede abreviarse, pero debe especificarse en el texto cuál corresponde a confidence y cuál a coverage. Escribir solo "intervalo de tolerancia del 95%" es insuficiente.

El TI bilateral para una población normal suele expresarse comúnmente en la forma x̄ ± k·s. Aquí, k no es un valor fijo como 1.96 o 3; depende del tamaño muestral, el nivel de confianza, la cobertura y si es unilateral o bilateral.

Si el modelo normal es inadecuado, la garantía de cobertura del TI normal también podría no funcionar según lo previsto. Existen métodos que no asumen una distribución, pero para obtener la misma confianza y cobertura, podrían requerirse muestras más grandes o intervalos mucho más amplios.

Las especificaciones no son intervalos estadísticos

Los límites de especificación o criterios de aceptación son estándares externos que deben cumplir los productos, procesos o valores de ensayo. Deben definirse antes del análisis, basándose en requisitos de diseño, necesidad científica, riesgo de calidad, significancia clínica o el contexto regulatorio/contractual.

Por el contrario, el CI, PI y TI se calculan a partir de la muestra y el modelo estadístico, y varían con cada muestra.

Colocar el TI y las líneas de especificación en paralelo puede ayudar a investigar la probabilidad de que la distribución de la población bajo los datos y el modelo actuales se encuentre dentro de los límites. Sin embargo, la siguiente igualdad no es válida:

• TI = specification
• IT dentro de la especificación → aprobación automática
• valor posterior al cambio dentro del IT previo → comparabilidad confirmada entre ambos procesos

La Comparabilidad es un juicio de dominio que incluye qué considerar como igual, qué atributos de calidad evaluar y cómo definir las diferencias y riesgos aceptables. Un único TI de datos históricos no sustituye a todo este juicio.

Compare los tres intervalos en la misma muestra

El siguiente Lab genera muestras independientes mediante un proceso de creación normal con μ=10, σ=3. Los tres intervalos parten del mismo x̄ y s, pero se configuran con objetivos diferentes.

1. Compare el CI con n=20, el PI de la siguiente observación y el TI de 95% de confianza/95% de cobertura.
2. Haga clic en Nueva muestra para observar cómo cambian conjuntamente el centro y los tres intervalos.
3. Cambie n a 5 y 40 para comparar el impacto de la incertidumbre de la muestra.

En este laboratorio, conocemos $\mu$ y $\sigma$ porque nosotros definimos el proceso de generación. En el análisis real, no se conocen los parámetros poblacionales; primero debe revisarse si la selección del modelo y el rango de muestreo son apropiados.

En JMP, las preguntas de entrada para los tres resultados son diferentes

La ayuda actual de Distribución en JMP distingue entre Intervalos de Confianza, Intervalos de Predicción e Intervalos de Tolerancia como resultados distintos para variables continuas. Aquí leemos el objeto al que pregunta el resultado, no el orden de los clics.

El resultado del Intervalo de Predicción debe distinguir si se trata de una futura observación individual o un resumen de una muestra futura; el nivel de confianza y el número de muestras futuras afectan la interpretación. El resultado del Intervalo de Tolerancia presenta por separado el nivel de confianza y la proporción a cubrir. Estas dos entradas corresponden al dos por ciento de U06.

Antes y después de la salida en JMP, verifique lo siguiente:

1. ¿Cuál es el objetivo que quiero estimar: un parámetro, una futura observación individual o una proporción poblacional?
2. ¿Cuáles son las unidades independientes de la muestra y el rango de la población?
3. ¿Es apropiada la suposición de distribución normal (u otra) para la pregunta y los datos?
4. ¿Se necesitan límites unilaterales o intervalos bilaterales?
5. Si es un IT, ¿se registraron tanto la confianza como la cobertura?
6. ¿Se definieron independientemente de los datos las especificaciones y los criterios de aceptación?

Las oraciones del informe deben incluir el objetivo

Oración incorrecta:

El intervalo del 95% fue de 6.2–14.1.

Oraciones correctas:

Para una muestra independiente de 20 unidades, el intervalo de confianza bilateral del 95% de Student t para la media poblacional fue de 8.8–11.6.

Para una futura observación independiente individual bajo el mismo proceso de generación normal, el intervalo de predicción bilateral del 95% fue de 3.5–16.9.

Bajo el modelo normal, el intervalo de tolerancia bilateral calculado para incluir al menos el 95% de las observaciones poblacionales con un 95% de confianza fue de 1.7–18.7.

Los números varían según la muestra, pero la estructura de la oración se mantiene. Deje el objetivo, el nivel, la dirección, el modelo y n independiente.

Cinco oraciones para verificar al finalizar la unidad

• El IC apunta a un parámetro como la media.
• El IP incluye la variabilidad natural de la siguiente observación independiente individual.
• El IT envuelve una proporción poblacional especificada con una confianza especificada.
• μ±1.96σ y el IT del 95%/95% calculado a partir de la muestra no son lo mismo.
• Las especificaciones y los criterios de comparabilidad no se determinan ni aprueban automáticamente por los intervalos estadísticos.

En la siguiente unidad pasaremos de comparar intervalos a preguntar si una diferencia podría surgir únicamente por azar. Veremos cómo la hipótesis nula, la alternativa, el valor p y el nivel de significación α forman una estructura de decisión.

Material complementario oficial

• NIST/SEMATECH · Tolerance intervals for a normal distribution
• NIST/SEMATECH · Prediction and tolerance intervals
• JMP Help · Prediction Intervals
• JMP Help · Confidence Interval for One Sample Mean

Las cifras, figuras y datos del laboratorio in silico de este artículo son sintéticos y explican conceptos estadísticos. No deben utilizarse como evidencia para decisiones reales de investigación, clínicas, de calidad, regulatorias o de comparabilidad.