El coeficiente de correlación resume el grado en que dos variables se mueven juntas, pero no dice directamente “cuánto cambia Y en promedio cuando X cambia una unidad”. La regresión expresa esta pregunta mediante una fórmula.
Esta sección tiene una sola pregunta.
¿En qué medida explica una recta la relación y dónde falla?
La regresión lineal simple comprime la relación media en dos coeficientes
Yᵢ=β₀+β₁Xᵢ+εᵢ
- β₀ intersección: Y promedio cuando X=0
- β₁ pendiente: cambio en Y promedio por cada unidad de aumento en X
- εᵢ error: variación individual no explicada por el modelo
En la muestra se ajusta ŷᵢ=b₀+b₁xᵢ. La unidad de la pendiente es unidad de Y / unidad de X. Si X=concentración mg/mL y Y=vitalidad (puntos porcentuales), hay que escribir esas unidades explícitamente para que el significado científico sea claro.
La intersección puede ser necesaria para el cálculo pero carecer de interpretación práctica si X=0 está fuera del rango observado. Al restar a X un valor central científicamente relevante, la intersección se convierte en la respuesta media dentro del rango observado.
Los mínimos cuadrados minimizan la suma de los cuadrados de los residuos verticales
El residuo es eᵢ=yᵢ−ŷᵢ. Los mínimos cuadrados eligen la recta que hace Σeᵢ² lo más pequeño posible. Debido al cuadrado, los residuos grandes tienen mayor influencia. Por ello, se debe verificar siempre la causa y el impacto de los valores atípicos.
Si el residuo es positivo, el valor observado es mayor que el predicho; si es negativo, es menor. En un modelo lineal bien ajustado, los residuos deben dispersarse alrededor de cero sin estructura especial respecto a los valores predichos o al orden de ejecución.
R² es la proporción explicada, no una garantía de calidad
R²=1−SSE/SST
R² es la proporción de la variación total de Y observado que el modelo ajustado explica dentro de la muestra. En regresión simple, equivale a r². Sin embargo, un R² alto no garantiza lo siguiente:
- Que la forma funcional sea lineal.
- Que la varianza de los residuos sea constante.
- Que los errores sean independientes.
- Que no falten variables importantes.
- Que la relación sea causal.
- Que las predicciones en nuevos datos sean buenas.
Ampliar el rango de X puede aumentar R², mientras que reducirlo puede disminuirlo. En campos donde la variación inherente de la respuesta es pequeña, un R² bajo aún puede corresponder a un efecto medio útil.
Verifique curvas, forma de embudo, tendencias temporales, agrupamientos y puntos extremos en el gráfico de residuos frente a valores predichos. Un resumen numérico único puede ocultar fallos estructurales del modelo.
Cuatro patrones de residuos indican problemas distintos
- Forma de U o S: puede requerirse curvatura o transformación en la especificación lineal
- Forma de embudo: la varianza cambia según el nivel medio
- Tendencia en el orden de ejecución: deriva, autocorrelación, cambios en el lote
- Residuos grandes aislados: error de medición, otra población, valor atípico
La corrección no consiste en añadir continuamente el grado polinómico más favorable basándose únicamente en la forma de los residuos. Se deben definir los términos basándose en el mecanismo, el rango de diseño y los modelos candidatos previos, y verificarlos mediante nuevos datos o validación cruzada.
Si existen niveles de X repetidos, se puede separar el error puro (pure error) de la falta de ajuste (lack of fit). La prueba de falta de ajuste ayuda a determinar si la función candidata muestra un fallo sistemático mayor que el error de repetición, pero que sea no significativa no significa que el modelo sea verdadero.
La extrapolación no es el acto de prolongar una línea recta
Si la X observada es 1–5 pero se predice para X=20, el mecanismo de respuesta, la saturación, la toxicidad o los límites físicos pueden cambiar. El valor algebraico de la ecuación de regresión se calcula, pero la base científica reside dentro del rango de diseño. El intervalo de predicción representa la incertidumbre bajo la condición de que el modelo es correcto, pero no justifica la extrapolación.
In-Silico Lab: Hacer que el modelo falle deliberadamente
- Observe la línea de ajuste y el R² con curvatura 0.
- Aumente la curvatura a 1.2, 2 y compare el R² y la estructura de los residuos.
- Añada un punto atípico y observe si la pendiente y el SSE cambian.
- Cambie la semilla (seed) para verificar cuánto altera la estimación del ajuste de la muestra al modelo generado.
Diagnose straight lines and residuals at the same time
After fitting a straight line, check whether R² and residuals reveal curvature and outliers differently.
If this is your first time: What should I press?
- 1. Read the question firstIn the Lab title, check the one thing you will compare this time.
- 2. Change just one conditionInitially, change only one of the inputs: n, effect, or spread.
- 3. new composite specimen pressureNew synthetic data is created. The same conditions may vary depending on the sample.
- 4. Pictures and calculation results CompareWrite in one sentence what moves and what stays the same before and after the change.
If it gets stuckresetGo back to see the default results and change just one condition. This Lab is not a correct answer tester but a pattern observation tool.
Synthetic observations of the same settings
calculation result
Even high R² does not erase the curved pattern in the residuals. Extrapolation outside the measurement range is specifically prohibited.
educational synthetic modelbjs-relationship-sequence-v1. Actual research judgments must separately reflect experimental units, missingness, distribution, multiplicity, pre-planning, and domain criteria.
Los resultados de JMP se desplazan de la tabla de coeficientes a los residuos
Intercept/slope estimates and SE/CI are read in actual units.
R² is an explanation ratio and not a sole proof of model fit.
Find curvature, heteroscedasticity, time drift, and outlier structures.
Tras leer los coeficientes, SE y CI de Parameter Estimates, el R² y RMSE de Summary of Fit, y el model test de Analysis of Variance, es imprescindible observar el gráfico de residuos (residual plot) y el de valores reales frente a predichos (actual by predicted). Los términos polinómicos no se utilizan simplemente porque se pueden añadir fácilmente desde el menú, sino según los candidatos científicos y el diagnóstico.
Ejemplo de redacción de resultados
Se ajustó un modelo lineal en un rango de concentración de 1–5 mg/mL en 38 lotes independientes. La pendiente fue de 2.4 puntos porcentuales/(mg/mL), con un IC del 95% de 1.6–3.2 y un R²=.48. El gráfico de residuos frente a predicciones no mostró curvatura evidente, aunque la varianza aumentó en concentraciones altas. En el análisis de sensibilidad del modelo ponderado, la dirección de la pendiente se mantuvo. No se realizó extrapolación fuera del rango de medición.
Al finalizar la unidad
- La pendiente es el cambio promedio de Y ante un cambio de 1 unidad de X.
- El método de mínimos cuadrados minimiza la suma de los cuadrados de los residuos verticales.
- El R² es la proporción explicada y no es el único criterio de bondad de ajuste del modelo.
- Los residuos revelan curvatura, heterocedasticidad, deriva y valores atípicos.
- Los términos polinómicos se seleccionan mediante el mecanismo y la verificación, no mediante una competencia de valores p a posteriori.
- La base de la predicción se encuentra dentro del rango de observación y diseño.
Desde la siguiente unidad iremos más allá de las relaciones X–Y observadas y entraremos en el diseño de experimentos, donde se organizan deliberadamente múltiples entradas.
Material complementario oficial
El modelo y el laboratorio de este artículo utilizan datos sintéticos con fines educativos.